IDZ Ryabushko 3.2 Opção 4

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Nº 1 Vértices dados ∆ABC: A(1;0); B(–1;4); C(9;5). Encontre: a) Equação do lado AB; b) Equação da altura do CH; c) Equação da mediana AM; d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH; e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e é paralela ao lado AB; e) Distância do ponto C à reta AB.

a) Equação do lado AB: Encontre o vetor de coordenadas AB: AB = B - A = (-1 - 1; 4 - 0) = (-2; 4) Então a equação da reta AB tem a forma: y - yA = (yB - yA) / (xB - xA) * (x - xA) y - 0 = 4 / (-1 - 1) * (x - 1) y = -2x + 2

b) Equação da altura CH: Vamos encontrar as coordenadas dos vetores AB e AC: AB = (-2; 4) AC = (8; 5) Como a altura é traçada a partir do vértice C, ela é perpendicular ao lado AB e, portanto, paralelo ao vetor AB. Então a equação da altura CH tem a forma: y - yC = (xB - xC) / (yB - yC) * (x - xC) y - 5 = (-1 - 9) / (4 - 5) * (x - 9) y = -8x + 77

c) Equação da mediana AM: Encontre as coordenadas dos vetores AB e AC: AB = (-2; 4) AC = (8; 5) + xC) / 2; (yB + yC) / 2) = (( -1 + 9) / 2; (4 + 5) / 2) = (4; 4,5) A equação da mediana AM tem a forma: y - yA = ( yM - yA) / (xM - xA) * (x - xA) y - 0 = (4,5 - 0) / (4 - 1) * (x - 1) y = 1,5x + 1,5

d) Ponto N de intersecção da mediana AM e da altura CH: A mediana AM e a altura CH se cruzam no ponto N. Vamos encontrar as coordenadas do ponto N resolvendo o sistema de equações para a altura CH e a mediana AM: y = -8x + 77 y = 1,5x + 1,5 -8x + 77 = 1,5x + 1,5 x = 8 y = -61 O ponto N tem coordenadas (8; -61).

e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB: A equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB é: y - yC = (yB - yA) / (xB - xA) * (x - xC) y - 5 = 4 / (-1 - 1) * (x - 9) y = -2x + 23

e) Distância do ponto C à reta AB: A distância do ponto C à reta AB é igual à distância do ponto C até sua projeção na reta AB. Vamos encontrar as coordenadas da projeção do ponto C na linha AB. Para fazer isso, encontramos a equação de uma reta perpendicular a AB e passando por C: Encontre as coordenadas do vetor AB: AB = B - A = (-1 - 1; 4 - 0) = (-2; 4) Então as coordenadas do vetor perpendicular a AB são iguais a ( 4; 2). A equação de uma reta que passa por C e é perpendicular a AB é: y - yC = (2/4) * (x - xC) y - 5 = (1/2) * (x - 9) y = (1/2) ) * x - 1,5 Vamos encontrar o ponto de intersecção desta reta com a reta AB, que é a projeção do ponto C na reta AB. Vamos resolver o sistema de equações: y = (1/2) * x - 1,5 y = -2x + 2 (1/2) * x - 1,5 = -2x + 2 x = 2 y = -1 O ponto de intersecção tem coordenadas (2; - 1). A distância do ponto C à linha AB é igual à distância entre o ponto C e sua projeção na linha AB: d = √((xC - x)^2 + (yC - y)^2) = √((9 - 2 )^2 + (5 - (-1))^2) = √(49 + 36) = √85.

Nº 2 Encontre a equação de uma reta que corta um segmento igual a 2 no eixo das ordenadas e corre paralela à reta 2y - x = 3.

Vamos transferir a equação da reta 2y - x = 3 para a forma geral: x + 2y = 3 Então os coeficientes da equação da reta paralela à dada e passando pelo ponto (0; 2) são igual a (1; 2). A equação desta reta tem a forma: y - y0 = k * (x - x0) y - 2 = 2 * (x - 0) y = 2x + 2 Para encontrar o ponto de intersecção desta reta com o eixo das ordenadas, substitua x = 0: y = 2 * 0 + 2 = 2 O ponto de interseção possui coordenadas (0; 2). Como o segmento cortado no eixo das ordenadas é igual a 2, o segundo ponto do segmento possui coordenadas (0; 4). Então a equação da reta desejada tem a forma: y - y0 = k * (x - x0) y - 2 = 2 * (x - 0) y = 2x + 2.

IDZ Ryabushko 3.2 Opção 4

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IDZ Ryabushko 3.2 Opção 4 é um conjunto de tarefas em matemática, que inclui as seguintes tarefas:

Nº 1 Vértices dados ∆ABC: A(1;0); B(–1;4); C(9;5). Encontrar: a) Equação do lado AB; b) Equação da altura do CH; c) Equação da mediana AM; d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH; e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e é paralela ao lado AB; e) Distância do ponto C à reta AB.

Nº 2 Encontre a equação de uma reta que corta um segmento igual a 2 no eixo das ordenadas e corre paralela à reta 2y - x = 3.

Para resolver problemas do Ryabushko IDZ 3.2 Opção 4, é necessário aplicar conhecimentos na área de geometria e álgebra.

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