IDZ Ryabushko 3.2 Opção 23

Nº 1 Vértices dados ∆АВС: А(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Encontre: a) Equação do lado AB; b) Equação da altura do CH; c) Equação da mediana AM; d) Ponto N de intersecção da mediana AM e altura CH; e) Equação de uma reta que passa pelo vértice C e é paralela ao lado AB; f) Distância do ponto C à reta AB.

Responder:

a) A equação do lado AB pode ser encontrada usando as coordenadas dos pontos A e B:

A equação de uma reta que passa por dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Para o lado AB:

y + 1 = (-5 + 1) / (-4 + 3) * (x + 3)

y + 1 = -4 * (x + 3)

Simplificando, obtemos:

y = -4x - 13

b) A equação da altura CH passa pelo vértice C e é perpendicular ao lado AB. Vamos encontrar o coeficiente angular do lado AB:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - (-1)) / (-4 - (-3)) = -4

O coeficiente angular da altura do CH é igual a k' = -1 / k = 1/4.

Como a altura passa pelo ponto C(8;1), sua equação tem a forma:

y - 1 = 1/4 * (x - 8)

y = 1/4 * x - 1/4

c) A mediana AM passa pelo vértice A e pelo meio do lado BC. Vamos encontrar as coordenadas do meio do lado do sol:

xср = (x2 + x3) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 2

yср = (y2 + y3) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2

Portanto, as coordenadas do ponto M são iguais a (2;-2). A inclinação da mediana AM é igual a:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - (-1)) / (2 - (-3)) = 1/5

Como a mediana passa pelo ponto A(–3,–1), sua equação tem a forma:

y + 1 = 1/5 * (x + 3)

y = 1/5 * x - 4/5

d) O ponto de intersecção da mediana AM e da altura CH é o centro de gravidade do triângulo e divide a mediana na proporção de 2:1. Vamos encontrar as coordenadas do ponto N:

xN = (xA + xM*2) / 3 = (-3 + 2*2) / 3 = -1/3

yN = (yA + yM*2) / 3 = (-1 + 2*(-2))/ 3 = -5/3

O ponto N possui coordenadas (-1/3; -5/3).

e) A equação de uma reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB tem a mesma inclinação que a equação do lado AB:

y - y1 = -4 * (x - x1)

Substitua as coordenadas do ponto C(8;1):

y - 1 = -4 * (x - 8)

y = -4x + 33

e) A distância do ponto C à reta AB é igual à distância do ponto C à projeção do ponto C na reta AB. Vamos encontrar as coordenadas da projeção do ponto C na linha AB:

xпр = (k ^ 2 * xC - k * yC - k * b) / (k ^ 2 + 1) = (-4 ^ 2 * 8 - (-4) * 1 - (-13)) / (16 + 1) = -59/17

ypr = k * xpr + b = -4 * (-59/17) - 13 = 95/17

A distância do ponto C à linha AB é igual à distância entre os pontos C e sua projeção na linha AB:

d = sqrt((xC - xpr)^2 + (yC - ypr)^2) = sqrt((8 + 59/17)^2 + (1 - 95/17)^2) = 17 / sqrt(170)

Responder:

a) y = -4x - 13; b) y = 1/4 * x - 1/4; c) y = 1/5*x - 4/5; d) N(-1/3; -5/3); e) y = -4x + 33; e) d = 17/sqrt(170). Nº 2 Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(–2;3) e as componentes do ângulo com o eixo do Boi: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

Responder:

O ângulo entre a linha reta e o eixo do Boi pode ser encontrado usando a inclinação k:

k = tan(α), onde α é o ângulo entre a reta e o eixo do Boi

a) Em α = 45°, k = 1.

A equação de uma linha reta passando pelo ponto A(–2;3) e tendo um coeficiente angular k = 1 tem a forma:

y - y1 = k * (x - x1)

y - 3 = 1 * (x + 2)

y = x + 5

b) Em α = 90°, k = infinito.

A reta que passa pelo ponto A(–2;3) e paralela ao eixo Oy tem a equação:

x = -2

c) Em α = 0°, k = 0.

A reta que passa pelo ponto A(–2;3) e paralela ao eixo do Boi tem a equação:

y = 3

Responder:

a) y = x + 5; b) x = -2

IDZ Ryabushko 3.2 Opção 23

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IDZ Ryabushko 3.2 Opção 23 é um conjunto de problemas de matemática, que inclui as seguintes tarefas:

1. Os vértices do triângulo ∆ABC são dados: A(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Necessário: a) Encontre a equação do lado AB. b) Encontre a equação para a altura do CH. c) Encontre a equação da mediana AM. d) Encontre o ponto N da intersecção da mediana AM e a altura CH. e) Encontre a equação da reta que passa pelo vértice C e paralela ao lado AB. f) Encontre a distância do ponto C à linha AB.

2. É necessário escrever a equação da reta que passa pelo ponto A(–2;3) e forma um ângulo com o eixo do Boi: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

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