IDZ Ryabushko 3.2 Opción 23

No. 1 Vértices dados ∆АВС: А(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Encuentre: a) Ecuación del lado AB; b) Ecuación de altura CH; c) Ecuación de la mediana AM; d) Punto N de intersección de la mediana AM y la altura CH; e) Ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB; e) Distancia del punto C a la recta AB.

Respuesta:

a) La ecuación del lado AB se puede encontrar usando las coordenadas de los puntos A y B:

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) es:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Para el lado AB:

y + 1 = (-5 + 1) / (-4 + 3) * (x + 3)

y + 1 = -4 * (x + 3)

Simplificando obtenemos:

y = -4x - 13

b) La ecuación para la altura CH pasa por el vértice C y es perpendicular al lado AB. Encontremos el coeficiente angular del lado AB:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - (-1)) / (-4 - (-3)) = -4

El coeficiente angular de la altura del CH es igual a k' = -1 / k = 1 / 4.

Como la altura pasa por el punto C(8;1), su ecuación tiene la forma:

y - 1 = 1/4 * (x - 8)

y = 1/4 * x - 1/4

c) La mediana AM pasa por el vértice A y el centro del lado BC. Encontremos las coordenadas del medio del lado del sol:

xср = (x2 + x3) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 2

yср = (y2 + y3) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2

Por tanto, las coordenadas del punto M son iguales a (2;-2). La pendiente de la mediana AM es igual a:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - (-1)) / (2 - (-3)) = 1 / 5

Como la mediana pasa por el punto A(–3,–1), su ecuación tiene la forma:

y + 1 = 1/5 * (x + 3)

y = 1/5 * x - 4/5

d) El punto de intersección de la mediana AM y la altura CH es el centro de gravedad del triángulo y divide la mediana en una proporción de 2:1. Encontremos las coordenadas del punto N:

xN = (xA + xM*2) / 3 = (-3 + 2*2) / 3 = -1/3

yN = (yA + yM*2) / 3 = (-1 + 2*(-2))/ 3 = -5 / 3

El punto N tiene coordenadas (-1/3; -5/3).

e) La ecuación de una recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB tiene la misma pendiente que la ecuación del lado AB:

y - y1 = -4 * (x - x1)

Sustituya las coordenadas del punto C(8;1):

y - 1 = -4 * (x - 8)

y = -4x + 33

e) La distancia del punto C a la recta AB es igual a la distancia del punto C a la proyección del punto C sobre la recta AB. Encontremos las coordenadas de la proyección del punto C sobre la recta AB:

xпр = (k^2 * xC - k * yC - k * b) / (k^2 + 1) = (-4^2 * 8 - (-4) * 1 - (-13)) / (16 + 1) = -59/17

ypr = k * xpr + b = -4 * (-59/17) - 13 = 95/17

La distancia del punto C a la recta AB es igual a la distancia entre los puntos C y su proyección sobre la recta AB:

d = raíz cuadrada ((xC - xpr)^2 + (yC - ypr)^2) = raíz cuadrada ((8 + 59/17)^2 + (1 - 95/17)^2) = 17 / raíz cuadrada (170)

Respuesta:

a) y = -4x - 13; b) y = 1/4 * x - 1/4; c) y = 1/5 * x - 4/5; d) N(-1/3; -5/3); mi) y = -4x + 33; e) d = 17 / raíz cuadrada (170). No. 2 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto A(–2;3) y las componentes del ángulo con el eje Ox: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

Respuesta:

El ángulo entre la recta y el eje Ox se puede encontrar usando la pendiente k:

k = tan(α), donde α es el ángulo entre la línea recta y el eje Ox

a) En α = 45°, k = 1.

La ecuación de una recta que pasa por el punto A(–2;3) y tiene un coeficiente angular k = 1 tiene la forma:

y - y1 = k * (x - x1)

y - 3 = 1 * (x + 2)

y = x + 5

b) En α = 90°, k = infinito.

La recta que pasa por el punto A(–2;3) y es paralela al eje Oy tiene la ecuación:

x = -2

c) En α = 0°, k = 0.

La recta que pasa por el punto A(–2;3) y es paralela al eje Ox tiene la ecuación:

y = 3

Respuesta:

a) y = x + 5; segundo) x = -2

IDZ Ryabushko 3.2 Opción 23

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1. Los vértices del triángulo ∆ABC están dados: A(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Necesario: a) Encuentra la ecuación del lado AB. b) Encuentra la ecuación para la altura del CH. c) Encuentra la ecuación de la mediana AM. d) Encuentre el punto N de la intersección de la mediana AM y la altura CH. e) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el vértice C y es paralela al lado AB. f) Calcula la distancia del punto C a la recta AB.

2. Es necesario escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto A(–2;3) y forma un ángulo con el eje Ox: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

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