IDZ Ryabushko 3.2 Option 23

Nr. 1 Gegebene Eckpunkte ∆АВС: А(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Finden Sie: a) Gleichung der Seite AB; b) Gleichung der CH-Höhe; c) Gleichung des Medians AM; d) Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH; e) Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft; e) Abstand vom Punkt C zur Geraden AB.

Antwort:

a) Die Gleichung der Seite AB kann mithilfe der Koordinaten der Punkte A und B ermittelt werden:

Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte (x1, y1) und (x2, y2) verläuft, lautet:

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

Für Seite AB:

y + 1 = (-5 + 1) / (-4 + 3) * (x + 3)

y + 1 = -4 * (x + 3)

Vereinfacht erhalten wir:

y = -4x - 13

b) Die Gleichung für die Höhe CH geht durch den Scheitelpunkt C und steht senkrecht zur Seite AB. Ermitteln wir den Winkelkoeffizienten der Seite AB:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - (-1)) / (-4 - (-3)) = -4

Der Winkelkoeffizient der Höhe des CH beträgt k' = -1 / k = 1 / 4.

Da die Höhe durch den Punkt C(8;1) verläuft, hat ihre Gleichung die Form:

y - 1 = 1 / 4 * (x - 8)

y = 1 / 4 * x - 1 / 4

c) Der Median AM verläuft durch den Scheitelpunkt A und die Mitte der Seite BC. Finden wir die Koordinaten der Mitte der Sonnenseite:

xср = (x2 + x3) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 2

yср = (y2 + y3) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2

Daher sind die Koordinaten des Punktes M gleich (2;-2). Die Steigung des Medians AM ist gleich:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - (-1)) / (2 - (-3)) = 1 / 5

Da der Median durch den Punkt A(–3,–1) verläuft, hat seine Gleichung die Form:

y + 1 = 1 / 5 * (x + 3)

y = 1 / 5 * x - 4 / 5

d) Der Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH ist der Schwerpunkt des Dreiecks und teilt den Median im Verhältnis 2:1. Finden wir die Koordinaten von Punkt N:

xN = (xA + xM*2) / 3 = (-3 + 2*2) / 3 = -1/3

yN = (yA + yM*2) / 3 = (-1 + 2*(-2))/ 3 = -5 / 3

Punkt N hat Koordinaten (-1/3; -5/3).

e) Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, hat die gleiche Steigung wie die Gleichung der Seite AB:

y - y1 = -4 * (x - x1)

Ersetzen Sie die Koordinaten von Punkt C(8;1):

y - 1 = -4 * (x - 8)

y = -4x + 33

e) Der Abstand vom Punkt C zur Geraden AB ist gleich dem Abstand vom Punkt C zur Projektion des Punktes C auf die Gerade AB. Finden wir die Koordinaten der Projektion von Punkt C auf die Linie AB:

xпр = (k^2 * xC - k * yC - k * b) / (k^2 + 1) = (-4^2 * 8 - (-4) * 1 - (-13)) / (16 + 1) = -59 / 17

ypr = k * xpr + b = -4 * (-59 / 17) - 13 = 95 / 17

Der Abstand vom Punkt C zur Linie AB ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten C und seiner Projektion auf die Linie AB:

d = sqrt((xC - xpr)^2 + (yC - ypr)^2) = sqrt((8 + 59 / 17)^2 + (1 - 95 / 17)^2) = 17 / sqrt(170)

Antwort:

a) y = -4x - 13; b) y = 1/4 * x - 1/4; c) y = 1/5 * x - 4/5; d) N(-1/3; -5/3); e) y = -4x + 33; e) d = 17 / sqrt(170). Nr. 2 Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt A(–2;3) verläuft, und der Winkelkomponenten mit der Ox-Achse: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

Antwort:

Der Winkel zwischen der Geraden und der Ox-Achse kann mithilfe der Steigung k ermittelt werden:

k = tan(α), wobei α der Winkel zwischen der Geraden und der Ox-Achse ist

a) Bei α = 45° ist k = 1.

Die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt A(–2;3) verläuft und einen Winkelkoeffizienten k = 1 hat, hat die Form:

y - y1 = k * (x - x1)

y - 3 = 1 * (x + 2)

y = x + 5

b) Bei α = 90° ist k = unendlich.

Die Gerade, die durch den Punkt A(–2;3) verläuft und parallel zur Oy-Achse verläuft, hat die Gleichung:

x = -2

c) Bei α = 0° ist k = 0.

Die gerade Linie, die durch den Punkt A(–2;3) verläuft und parallel zur Ox-Achse verläuft, hat die Gleichung:

y = 3

Antwort:

a) y = x + 5; b) x = -2

IDZ Ryabushko 3.2 Option 23

IDZ Ryabushko 3.2 Option 23 ist ein Lehrbuch für Schüler, das Aufgaben und Lösungen in Mathematik, Algebra und Geometrie enthält. Dieses digitale Produkt wird als E-Book im PDF-Format präsentiert.

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IDZ Ryabushko 3.2 Option 23 ist eine Reihe von Problemen in der Mathematik, die die folgenden Aufgaben umfasst:

1. Die Eckpunkte des Dreiecks ∆ABC sind gegeben: A(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1). Notwendig: a) Finden Sie die Gleichung der Seite AB. b) Finden Sie die Gleichung für die Höhe des CH. c) Finden Sie die Gleichung des Medians AM. d) Finden Sie den Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH. e) Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft. f) Finden Sie den Abstand vom Punkt C zur Linie AB.

2. Es ist notwendig, die Gleichung der Geraden aufzuschreiben, die durch den Punkt A(–2;3) verläuft und mit der Ox-Achse einen Winkel bildet: a) 45°; b) 90°; c) 0°.

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