IDZ Ryabushko 3.2 选项 23

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No. 1 给定顶点 ΔАВС: А(–3,–1); B(–4;–5); C(8;1)。求：a）AB边方程； b) CH高度方程； c) 中值AM方程； d) 中线AM与高度CH的交点N； e) 通过顶点C并平行于边AB的直线方程； e) 点 C 到直线 AB 的距离。

回答：

a) 根据A点和B点的坐标，可求出AB边的方程：

通过两点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直线方程为：

y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)

对于AB面：

y + 1 = (-5 + 1) / (-4 + 3) * (x + 3)

y + 1 = -4 * (x + 3)

化简，我们得到：

y = -4x - 13

b) 高度 CH 的方程穿过顶点 C 并垂直于边 AB。求AB边的角系数：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-5 - (-1)) / (-4 - (-3)) = -4

CH 高度的角度系数等于 k' = -1 / k = 1 / 4。

由于高度经过点 C(8;1)，因此其方程的形式为：

y - 1 = 1 / 4 * (x - 8)

y = 1 / 4 * x - 1 / 4

c) 中线AM穿过顶点A和边BC的中点。让我们找到太阳侧面中间的坐标：

xср = (x2 + x3) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 2

yср = (y2 + y3) / 2 = (-5 + 1) / 2 = -2

因此，M点的坐标等于(2;-2)。中值 AM 的斜率等于：

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-2 - (-1)) / (2 - (-3)) = 1 / 5

由于中位数经过点 A(–3,–1)，因此其方程的形式为：

y + 1 = 1 / 5 * (x + 3)

y = 1 / 5 * x - 4 / 5

d) 中线 AM 与高度 CH 的交点为三角形的重心，并以 2:1 的比例除以中线。我们来求一下N点的坐标：

xN = (xA + xM*2) / 3 = (-3 + 2*2) / 3 = -1/3

yN = (yA + yM*2) / 3 = (-1 + 2*(-2))/ 3 = -5 / 3

N 点的坐标为（-1/3；-5/3）。

e) 通过顶点 C 并平行于边 AB 的直线方程与边 AB 的方程具有相同的斜率：

y - y1 = -4 * (x - x1)

代入点C(8;1)的坐标：

y - 1 = -4 * (x - 8)

y = -4x + 33

e) C 点到AB 直线的距离等于C 点到AB 直线投影的距离。求 C 点在 AB 线上的投影坐标：

xпр = (k^2 * xC - k * yC - k * b) / (k^2 + 1) = (-4^2 * 8 - (-4) * 1 - (-13)) / (16 + 1) = -59 / 17

ypr = k * xpr + b = -4 * (-59 / 17) - 13 = 95 / 17

点 C 到直线 AB 的距离等于点 C 与其在直线 AB 上的投影之间的距离：

d = sqrt((xC - xpr)^2 + (yC - ypr)^2) = sqrt((8 + 59 / 17)^2 + (1 - 95 / 17)^2) = 17 / sqrt(170)

回答：

a) y = -4x - 13; b) y = 1/4 * x - 1/4; c) y = 1/5 * x - 4/5; d) N(-1/3;-5/3); e) y = -4x + 33; e) d = 17 / sqrt(170)。 No.2 写出通过A(–2;3)点的直线方程及其与Ox轴的角度分量： a) 45°； b) 90°； c) 0°。

回答：

直线与 Ox 轴之间的角度可以使用斜率 k 求得：

k = tan(α)，其中 α 是直线与 Ox 轴之间的角度

a) 当 α = 45° 时，k = 1。

通过点 A(–2;3) 且角度系数 k = 1 的直线方程的形式为：

y - y1 = k * (x - x1)

y - 3 = 1 * (x + 2)

y = x + 5

b) 当 α = 90° 时，k = 无穷大。

通过点 A(–2;3) 并平行于 Oy 轴的直线有方程：

x = -2

c) 当 α = 0° 时，k = 0。

通过点 A(–2;3) 并平行于 Ox 轴的直线有方程：

y = 3

回答：

a) y = x + 5; b) x = -2