Nº 1.8. São atribuídos quatro pontos: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). É necessário criar equações: a) plano A1A2A3; b) reta A1A2; c) reta A4M, perpendicular ao plano A1A2A3; d) reta A3N paralela à reta A1A2; e) um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2.
É necessário calcular também: e) o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.
a) Para encontrar a equação do plano A1A2A3, é necessário utilizar a fórmula da equação geral do plano: Ax + By + Cz + D = 0. Primeiro, encontramos os vetores A1A2 e A1A3:
A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)
Então encontramos seu produto vetorial:
n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)
Agora vamos substituir as coordenadas do ponto A1 e do vetor n na fórmula da equação geral do plano:
-6x - 10y + 12z + D = 0
D = 66 + 101 - 12*1 = 58
A equação do plano é A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0.
b) Para encontrar a equação da reta A1A2, é necessário utilizar a forma paramétrica da equação da reta: x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, onde (a, b, c) é o vetor de direção da reta.
O vetor de direção da linha reta A1A2 é igual a:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
Então a equação da reta A1A2 tem a forma:
x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t
c) Para encontrar a equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3, é necessário encontrar o vetor diretor desta reta, que será ortogonal ao vetor n, ou seja:
(à, b, c) * (-6, -10, 12) = 0
Segue-se que o vetor diretor da reta A4M deve ter a forma:
(6, -3, -3)
Agora vamos encontrar a equação da reta A4M, sabendo que ela passa pelo ponto A4(1;2;6):
x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t
d) A linha A3N é paralela à linha A1A2, portanto seu vetor direção deve ter a mesma notação de coordenadas do vetor direção da linha A1A2:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
A reta A3N passa pelo ponto A3(4;2;0), então sua equação tem a forma:
x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t
e) Para encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2, pode-se usar a fórmula da equação geral de um plano, semelhante à fórmula do ponto a). Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:
(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)
O vetor direção do plano desejado deve ser perpendicular a este vetor, então você pode pegar um vetor obtido a partir de suas coordenadas com mudança de sinal de uma delas, ou pegar o produto vetorial entre ele e o vetor, por exemplo, (1 ,0,0):
(-5, -2, 2) ou (0, -5, 5)
Em seguida, substituímos as coordenadas do ponto A4 e o vetor encontrado na fórmula da equação geral do plano:
-5x - 2y + 2z + D = 0 e 0x - 5y + 5z + D = 0
D = 51 - 52 + 5*6 = 23
Equação de um plano passando pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 ou 0x - 5y + 5z + 23 = 0.
f) Para encontrar o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, pode-se usar a fórmula sen α = |n * l| / (|n| * |l|), onde n é o vetor normal ao plano, l é o vetor de direção da reta. Vamos encontrar o vetor normal ao plano A1A2A3:
n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)
Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A4:
A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)
Então o seno do ângulo entre a linha reta A1A4 e o plano A1A2A3 é igual a:
pecado α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13
g) Para encontrar o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3, você pode usar a fórmula cos α = |n * k| / (|n| * |k|), onde n e k são os vetores normais aos planos. O vetor normal ao plano coordenado Oxy tem a forma (0;0;1), e o vetor normal ao plano A1A2A3 foi encontrado no ponto a):
n = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)
Então o cosseno do ângulo entre os planos é igual a
Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 8 é um produto digital destinado a alunos que estudam matemática como parte do curso Individual Homework. Este produto contém a versão 8 da tarefa 3.1, desenvolvida por A.P. Ryabushko.
Desculpe, parece que você colou um problema de matemática com instruções para resolvê-lo. Você poderia esclarecer sua solicitação ou fornecer contexto adicional para que eu possa entender melhor como ajudá-lo?
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Ryabushko A.P. A opção 8 do IDZ 3.1 é uma tarefa de geometria que inclui vários pontos:
Encontrando equações: a) um plano que passa por três pontos A1(6;1;1), A2(4;6;6) e A3(4;2;0); b) uma reta que passa pelos pontos A1(6;1;1) e A2(4;6;6); c) uma reta que passa pelo ponto A4(1;2;6) e perpendicular ao plano que passa por três pontos A1, A2 e A3; d) uma reta paralela à reta que passa pelos pontos A1 e A2 e passa pelo ponto A3; e) um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A1 e A2.
Cálculo: f) o seno do ângulo entre a reta que passa pelos pontos A1(6;1;1) e A4(1;2;6), e o plano que passa por três pontos A1, A2 e A3; g) o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano que passa por três pontos A1, A2 e A3.
Encontrar a equação de um plano que passa por duas retas paralelas e a projeção do ponto P(3;1;–1) neste plano.
Se você tiver alguma dúvida, pode entrar em contato com o vendedor no endereço fornecido nas informações do vendedor.
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