1. Para resolver este problema, vamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial y´´´= cos2x. Integrando esta equação três vezes, obtemos y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias. Integrando a última expressão, obtemos y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, onde C3 é outra constante arbitrária. Substituindo as condições iniciais, obtemos um sistema de equações: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Assim, a solução parcial tem a forma y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Para encontrar a solução geral para esta equação diferencial y´´ = −x/y´, multiplique ambos os lados por y´ e integre duas vezes: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Ao integrar por partes, obtemos y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, onde C1 é uma constante arbitrária. Resolvendo esta equação para y´, obtemos y´ = ±sqrt(C1 - x2) e, consequentemente, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, onde C2 é outra constante arbitrária . Assim, a solução geral é y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Para resolver o problema de Cauchy para a equação diferencial y´´ = 1 − y´2 com as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 0, fazemos a substituição y´ = p(y) e obtemos a equação p´dp/ dy = 1 - p2. Integrando esta equação, obtemos p = sin(y + C1), onde C1 é uma constante arbitrária. Substituindo esta expressão na equação y´ = p(y), obtemos y´ = sin(y + C1). Integrando esta equação, obtemos y = -cos(y + C1) + C2, onde C2 é outra constante arbitrária. Substituindo as condições iniciais, obtemos C1 = 0, C2 = 1. Assim, a solução do problema de Cauchy tem a forma y = 1 - cos(y).

4. Esta equação diferencial pode ser reduzida à forma dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), que pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis. Após transformações algébricas simples obtemos: (y + x)dx + 2ydy = 0. Integrando esta equação, obtemos x2 + 2y2 + 2xy = C, onde C é a constante de integração.

5. Deixe a equação da curva que passa pelo ponto A(x0, y0) ter a forma y = kx + b, onde k e b são coeficientes. Então o coeficiente angular da tangente no ponto (x0, y0) é igual a k, e o coeficiente angular da reta que liga o ponto A à origem é igual a y0/x0. Das condições do problema segue-se que k = n*(y0/x0), onde n é um determinado número. Assim, a equação da curva é y = n*(y0/x0)x + b. Substituindo as coordenadas do ponto A, obtemos y = 9(-4/6)*x + 10, ou seja, a equação da curva é y = (-6/2)x + 10, que equivale a y = -3x + 10.

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IDZ 11.2 – Opção 9. Soluções de Ryabushko A.P.

1. Encontre uma solução particular para a equação diferencial

A equação diferencial y´´´= cos2x é dada. Vamos encontrar uma solução geral integrando esta equação três vezes:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sen2x - (1/4)xsen2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Substituindo as condições iniciais y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, obtemos C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Assim, uma solução particular tem a forma:

y= (1/8)sen2x - (1/4)xsen2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Valor da função em x=π:

y(π) = (1/8)sen2π - (1/4)πsen2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Encontre a solução geral para a equação diferencial

A equação diferencial y´´ = −x/y´ é dada. Para encontrar a solução geral, multiplique ambos os lados por y´ e integre duas vezes:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Ao integrar por partes obtemos:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

onde C1 é uma constante arbitrária.

Resolvendo esta equação para y´, obtemos:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

e, consequentemente,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

onde C2 é outra constante arbitrária.

Assim, a solução geral fica assim:

y = ±(1/2)(sen^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Resolva o problema de Cauchy para uma equação diferencial

Dada a equação diferencial y´´ = 1 − y´2 e as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) =0. Vamos fazer a substituição y´ = p(y) e obter a equação:

p´dp/dy = 1 - p2.

Integrando esta equação, obtemos:

p = pecado(y + C1),

onde C1 é uma constante arbitrária.

Substituindo esta expressão na equação y´ = p(y), obtemos:

y´ = sin(y + C1).

Integrando esta equação, obtemos:

y = -cos(y + C1) + C2,

onde C2 é outra constante arbitrária.

Usando as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 0, obtemos:

C1 = 0, C2 = 1.

Assim, a solução para o problema de Cauchy tem a forma:

y = -cos(y) + 1,

ou, equivalentemente,

cos(y) = 1 - y.

Assim, a solução do problema de Cauchy é dada pela equação cos(y) = 1 - y, onde y = y(x) é a solução da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 0.

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IDZ 11.2 – Opção 9. Soluções Ryabushko A.P. é um conjunto de soluções para problemas de análise matemática e equações diferenciais, completado pelo autor Ryabushko A.P.

Este projeto contém soluções para os seguintes problemas:

1. Encontre uma solução específica para a equação diferencial e calcule o valor da função resultante y=φ(x) em x=x0 com precisão de duas casas decimais. A equação diferencial tem a forma y´´´= cos2x, as condições iniciais são dadas y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, é necessário encontrar uma solução em x = π.

2. Encontre uma solução geral para uma equação diferencial que possa ser reduzida em ordem. A equação é y´´ = −x/y´.

3. Resolva o problema de Cauchy para uma equação diferencial que admite uma redução na ordem. A equação tem a forma y´´ = 1 − y´2, as condições iniciais y(0) = 0, y´(0) = 0 são dadas.

4. Integre a equação x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Escreva a equação de uma curva que passa pelo ponto A(x0, y0), se for conhecido que o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto é n vezes maior que o coeficiente angular da linha reta que conecta o mesmo ponto com o origem. Dado um ponto A(−6, 4) e n = 9.

Cada problema é fornecido com uma solução detalhada, desenvolvida no Microsoft Word 2003 usando o editor de fórmulas.

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