1. Để giải bài toán này, chúng ta hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y'''= cos2x. Tích phân phương trình này ba lần, chúng ta thu được y''= (1/2)sin2x + C1, y'= -(1/4)cos2x + C1x + C2, trong đó C1 và C2 là các hằng số tùy ý. Tích phân biểu thức cuối cùng, chúng ta nhận được y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, trong đó C3 là một hằng số tùy ý khác. Thay điều kiện ban đầu ta được hệ phương trình: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Do đó, nghiệm riêng phần có dạng y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Để tìm nghiệm tổng quát cho phương trình vi phân y'' = −x/y', hãy nhân cả hai vế với y' và lấy tích phân hai lần: y'dy'' = -xdy', y''dy' = -xdy, y' `dy ` - y'dy'' = xdy. Khi lấy tích phân từng phần, chúng ta thu được y''y' - (y')2/2 = -(x2/2) + C1, trong đó C1 là hằng số tùy ý. Giải phương trình này cho y', chúng ta thu được y' = ±sqrt(C1 - x2) và theo đó, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, trong đó C2 là một hằng số tùy ý khác . Do đó, nghiệm tổng quát là y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Để giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân y'' = 1 − y'2 với các điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) = 0, chúng ta thực hiện thay thế y' = p(y) và thu được phương trình p'dp/ dy = 1 - p2. Tích phân phương trình này, chúng ta thu được p = sin(y + C1), trong đó C1 là hằng số tùy ý. Thay biểu thức này vào phương trình y' = p(y), chúng ta thu được y' = sin(y + C1). Tích hợp phương trình này, chúng ta nhận được y = -cos(y + C1) + C2, trong đó C2 là một hằng số tùy ý khác. Thay điều kiện ban đầu, ta thu được C1 = 0, C2 = 1. Như vậy, nghiệm của bài toán Cauchy có dạng y = 1 - cos(y).

4. Phương trình vi phân này có thể rút gọn về dạng dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), có thể giải bằng phương pháp tách biến. Sau khi biến đổi đại số đơn giản, chúng ta thu được: (y + x)dx + 2ydy = 0. Tích phân phương trình này, chúng ta thu được x2 + 2y2 + 2xy = C, trong đó C là hằng số tích phân.

5. Giả sử phương trình đường cong đi qua điểm A(x0, y0) có dạng y = kx + b, trong đó k và b là các hệ số. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (x0, y0) bằng k và hệ số góc của đường thẳng nối điểm A với gốc tọa độ bằng y0/x0. Từ các điều kiện của bài toán suy ra k = n*(y0/x0), trong đó n là một số cho trước. Do đó, phương trình của đường cong là y = n*(y0/x0)x + b. Thay tọa độ điểm A ta được y = 9(-4/6)*x + 10, tức là phương trình của đường cong là y = (-6/2)x + 10, tương đương với y = -3x + 10.

Viết mô tả về sản phẩm - một sản phẩm kỹ thuật số trong cửa hàng bán đồ kỹ thuật số với thiết kế html đẹp mắt: "IDZ 11.2 - Tùy chọn 9. Giải pháp của Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Phương án 9. Giải pháp của Ryabushko A.P.

1. Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân

Đã cho phương trình vi phân y'''= cos2x. Hãy tìm nghiệm tổng quát bằng cách lấy tích phân phương trình này ba lần:

y''= (1/2)sin2x + C1,

y'= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

trong đó C1, C2 và C3 là các hằng số tùy ý.

Thay các điều kiện ban đầu y(0) = 1, y'(0) = −1/8, y''(0) = 0, ta được C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Như vậy, một giải pháp cụ thể có dạng:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Giá trị của hàm số tại x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

Đã cho phương trình vi phân y'' = −x/y'. Để tìm nghiệm tổng quát, nhân cả hai vế với y' và lấy tích phân hai lần:

y'dy'' = -xdy',

y''dy' = -xdy,

y''dy' - y'dy'' = xdy.

Khi lấy tích phân từng phần ta được:

y''y' - (y')2/2 = -(x2/2) + C1,

trong đó C1 là hằng số tùy ý.

Giải phương trình này theo y', ta được:

y' = ±sqrt(C1 - x2)

và theo đó,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

trong đó C2 là một hằng số tùy ý khác.

Do đó, giải pháp chung sẽ như sau:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân

Cho phương trình vi phân y'' = 1 − y'2 và các điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) =0. Hãy thay thế y' = p(y) và nhận được phương trình:

p'dp/dy = 1 - p2.

Tích phân phương trình này, ta được:

p = sin(y + C1),

trong đó C1 là hằng số tùy ý.

Thay biểu thức này vào phương trình y' = p(y), ta được:

y' = sin(y + C1).

Tích phân phương trình này, ta được:

y = -cos(y + C1) + C2,

trong đó C2 là một hằng số tùy ý khác.

Sử dụng điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) = 0, ta thu được:

C1 = 0, C2 = 1.

Do đó nghiệm của bài toán Cauchy có dạng:

y = -cos(y) + 1,

hoặc, tương đương,

cos(y) = 1 - y.

Như vậy, nghiệm của bài toán Cauchy được cho bởi phương trình cos(y) = 1 - y, trong đó y = y(x) là nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Tùy chọn 9. Giải pháp Ryabushko A.P. là bộ giải các bài toán về giải tích và phương trình vi phân, được hoàn thiện bởi tác giả Ryabushko A.P.

Dự án này chứa các giải pháp cho các vấn đề sau:

1. Tìm một nghiệm cụ thể cho phương trình vi phân và tính giá trị của hàm thu được y=φ(x) tại x=x0 chính xác đến hai chữ số thập phân. Phương trình vi phân có dạng y```= cos2x, điều kiện ban đầu cho trước y(0) = 1, y'(0) = −1/8, y``(0) = 0, cần tìm nghiệm tại x = π.

2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân có thể rút gọn theo thứ tự. Phương trình là y'' = −x/y'.

3. Giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân chấp nhận sự giảm bậc. Phương trình có dạng y'' = 1 − y'2, cho trước các điều kiện ban đầu y(0) = 0, y'(0) = 0.

4. Tích phân phương trình x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Viết phương trình đường cong đi qua điểm A(x0, y0), nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ lớn hơn n lần hệ số góc của đường thẳng nối cùng một điểm với nguồn gốc. Cho điểm A(−6, 4) và n = 9.

Mỗi bài toán đều được cung cấp lời giải chi tiết, được thiết kế trên Microsoft Word 2003 bằng trình soạn thảo công thức.

***

1. Các giải pháp của IDS 11.2 – Option 9 có cấu trúc chặt chẽ và dễ hiểu.
2. Nhờ các quyết định của Ryabushko A.P. theo IDZ 11.2 - Tùy chọn 9, tôi có thể nắm vững một chủ đề mới một cách nhanh chóng và dễ dàng.
3. Giải pháp IDZ 11.2 – Phương án 9 đã giúp em nâng cao kiến ​​thức toán học.
4. IDS 11.2 – Giải pháp Tùy chọn 9 được trình bày ở định dạng thuận tiện và có thể truy cập dễ dàng.
5. Tôi khuyên bạn nên sử dụng Giải pháp của Ryabushko A.P. theo IDZ 11.2 - Tùy chọn 9 dành cho tất cả những ai muốn hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ.
6. Giải pháp của IPD 11.2 – Phương án 9 đã giúp tôi tăng thêm sự tự tin vào kiến ​​thức của mình.
7. Quyết định Ryabushko A.P. cho IDZ 11.2 – Tùy chọn 9 chứa các mẹo và gợi ý hữu ích để giải quyết vấn đề.
8. Cảm ơn bạn, IDS Solutions 11.2 – Option 9 đã giúp tôi giải quyết bài tập về nhà.
9. Tôi nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy thông tin mình cần trong Giải pháp của Ryabushko A.P. theo IDZ 11.2 – Phương án 9.
10. Giải pháp IDZ 11.2 – Option 9 đã giúp em hiểu rõ hơn về tài liệu và chuẩn bị cho kỳ thi.

Đặc thù:

Một giải pháp tuyệt vời cho những ai muốn vượt qua thành công IPD 11.2 – Tùy chọn 9.

Quyết định Ryabushko A.P. sẽ giúp bạn hoàn thành nhiệm vụ một cách nhanh chóng và chính xác.

Cảm ơn bạn vì một sản phẩm kỹ thuật số hữu ích như vậy!

Các giải pháp rất dễ tiếp cận và được trình bày rõ ràng.

Nhờ IDZ 11.2 – Phương án 9. Giải pháp của Ryabushko A.P. Tôi đã có thể đạt được điểm xuất sắc.

Định dạng siêu tiện lợi - có thể sử dụng trên máy tính hoặc in.

Một sự lựa chọn tuyệt vời cho những ai muốn tiết kiệm thời gian và thần kinh.

Quyết định Ryabushko A.P. đã giúp tôi hiểu tài liệu tốt hơn.

Cảm ơn bạn vì một sản phẩm chi tiết và chất lượng cao như vậy!

Tôi muốn giới thiệu IDZ 11.2 – Tùy chọn 9. Giải pháp của Ryabushko A.P. cho tất cả học sinh muốn đạt điểm cao.