1. K vyřešení tohoto problému najdeme obecné řešení diferenciální rovnice y´´´= cos2x. Trojnásobnou integrací této rovnice dostaneme y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Integrací posledního výrazu dostaneme y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, kde C3 je další libovolná konstanta. Dosazením počátečních podmínek získáme soustavu rovnic: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Částečné řešení má tedy tvar y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Chcete-li najít obecné řešení této diferenciální rovnice y´´ = −x/y´, vynásobte obě strany y´ a integrujte dvakrát: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ 'dy ' - y'dy'' = xdy. Při integraci po částech dostaneme y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, kde C1 je libovolná konstanta. Řešením této rovnice pro y´ dostaneme y´ = ±sqrt(C1 - x2) a podle toho y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, kde C2 je další libovolná konstanta . Obecné řešení je tedy y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Pro řešení Cauchyho úlohy pro diferenciální rovnici y´´ = 1 − y´2 s počátečními podmínkami y(0) = 0, y´(0) = 0 provedeme substituci y´ = p(y) a získáme rovnice p´dp/dy = 1 - p2. Integrací této rovnice dostaneme p = sin(y + C1), kde C1 je libovolná konstanta. Dosazením tohoto výrazu do rovnice y´ = p(y) dostaneme y´ = sin(y + C1). Integrací této rovnice dostaneme y = -cos(y + C1) + C2, kde C2 je další libovolná konstanta. Dosazením počátečních podmínek získáme C1 = 0, C2 = 1. Řešení Cauchyho úlohy má tedy tvar y = 1 - cos(y).

4. Tuto diferenciální rovnici lze redukovat na tvar dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), který lze vyřešit metodou separace proměnných. Po jednoduchých algebraických transformacích dostaneme: (y + x)dx + 2ydy = 0. Integrací této rovnice dostaneme x2 + 2y2 + 2xy = C, kde C je integrační konstanta.

5. Nechť rovnice křivky procházející bodem A(x0, y0) má tvar y = kx + b, kde k a b jsou koeficienty. Potom je úhlový koeficient tečny v bodě (x0, y0) roven k a úhlový koeficient přímky spojující bod A s počátkem je roven y0/x0. Z podmínek úlohy vyplývá, že k = n*(y0/x0), kde n je dané číslo. Rovnice křivky je tedy y = n*(y0/x0)x + b. Dosazením souřadnic bodu A dostaneme y = 9(-4/6)*x + 10, to znamená, že rovnice křivky je y = (-6/2)x + 10, což je ekvivalentní y = -3x + 10.

Napište popis produktu - digitálního produktu v obchodě s digitálním zbožím s krásným html designem: "IDZ 11.2 - Option 9. Solutions by Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Možnost 9. Řešení Ryabushko A.P.

1. Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice

Je dána diferenciální rovnice y´´´= cos2x. Pojďme najít obecné řešení trojnásobnou integrací této rovnice:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

kde C1, C2 a C3 jsou libovolné konstanty.

Dosazením počátečních podmínek y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0 získáme C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Konkrétní řešení má tedy tvar:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Hodnota funkce v x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice

Je dána diferenciální rovnice y´´ = −x/y´. Chcete-li najít obecné řešení, vynásobte obě strany y´ a integrujte dvakrát:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Při integraci po částech dostaneme:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

kde C1 je libovolná konstanta.

Vyřešením této rovnice pro y´ dostaneme:

y´ = ±sqrt(C1 – x2)

a podle toho

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

kde C2 je další libovolná konstanta.

Obecné řešení tedy vypadá takto:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 – x2)) + C2.

3. Vyřešte Cauchyho úlohu pro diferenciální rovnici

Za předpokladu diferenciální rovnice y´´ = 1 − y´2 a počátečních podmínek y(0) = 0 je y´(0) =0. Udělejme náhradu y´ = p(y) a získáme rovnici:

p´dp/dy = 1 – p2.

Integrací této rovnice dostaneme:

p = sin(y + C1),

kde C1 je libovolná konstanta.

Dosazením tohoto výrazu do rovnice y´ = p(y) dostaneme:

y´ = sin(y + C1).

Integrací této rovnice dostaneme:

y = -cos(y + C1) + C2,

kde C2 je další libovolná konstanta.

Pomocí počátečních podmínek y(0) = 0, y´(0) = 0 získáme:

C1 = 0, C2 = 1.

Řešení Cauchyho problému má tedy tvar:

y = -cos(y) + 1,

nebo ekvivalentně

cos(y) = 1 – y.

Řešení Cauchyho úlohy je tedy dáno rovnicí cos(y) = 1 - y, kde y = y(x) je řešením diferenciální rovnice splňující počáteční podmínky y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Možnost 9. Řešení Ryabushko A.P. je soubor řešení problémů matematické analýzy a diferenciálních rovnic, doplněný autorem Ryabushko A.P.

Tento projekt obsahuje řešení následujících problémů:

1. Najděte konkrétní řešení diferenciální rovnice a vypočítejte hodnotu výsledné funkce y=φ(x) při x=x0 s přesností na dvě desetinná místa. Diferenciální rovnice má tvar y´´´= cos2x, počáteční podmínky jsou dány y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, je potřeba najít řešení v x = π.

2. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice, které lze redukovat v pořadí. Rovnice je y´´ = −x/y´.

3. Vyřešte Cauchyho úlohu pro diferenciální rovnici, která připouští redukci řádu. Rovnice má tvar y´´ = 1 − y´2, jsou dány počáteční podmínky y(0) = 0, y´(0) = 0.

4. Integrujte rovnici x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Napište rovnici křivky procházející bodem A(x0, y0), je-li známo, že úhlový koeficient tečny v libovolném bodě je nkrát větší než úhlový koeficient přímky spojující stejný bod s původ. Je dán bod A(−6, 4) an = 9.

Každý problém je opatřen podrobným řešením navrženým v aplikaci Microsoft Word 2003 pomocí editoru vzorců.

***

1. Řešení IDS 11.2 – Varianta 9 jsou dobře strukturovaná a srozumitelná.
2. Díky Rozhodnutí Ryabushko A.P. podle IDZ 11.2 - Možnost 9 jsem rychle a snadno zvládl nové téma.
3. Řešení IDZ 11.2 – Varianta 9 mi pomohla zlepšit mé znalosti v matematice.
4. Řešení IDS 11.2 – Option 9 jsou prezentována ve vhodném formátu a jsou snadno dostupná.
5. Doporučuji používat Solutions by Ryabushko A.P. dle IDZ 11.2 - Možnost 9 pro všechny, kteří chtějí úspěšně splnit úkoly.
6. Řešení IPD 11.2 – Možnost 9 mi pomohla zvýšit důvěru ve své znalosti.
7. Rozhodnutí Ryabushko A.P. pro IDZ 11.2 – Možnost 9 obsahuje užitečné tipy a rady pro řešení problémů.
8. Děkuji, IDS Solutions 11.2 – Možnost 9 mi pomohla vyrovnat se s domácími úkoly.
9. Rychle a snadno jsem našel potřebné informace v Solutions by Ryabushko A.P. dle IDZ 11.2 – Varianta 9.
10. Řešení IDZ 11.2 – Možnost 9 mi pomohla lépe porozumět látce a připravit se na zkoušku.

Zvláštnosti:

Vynikající řešení pro ty, kteří chtějí úspěšně projít IDZ 11.2 - Možnost 9.

Řešení Ryabushko A.P. vám pomůže dokončit úkol rychle a správně.

Děkujeme za tak užitečný digitální produkt!

Řešení jsou velmi dostupná a jasně uvedená.

Díky IDZ 11.2 - Možnost 9. Ryabushko A.P. Podařilo se mi získat vynikající známku.

Super praktický formát - lze použít na počítači nebo vytisknout.

Výborná volba pro ty, kteří chtějí ušetřit čas a nervy.

Řešení Ryabushko A.P. pomohl mi lépe pochopit látku.

Děkuji za tak podrobný a vysoce kvalitní produkt!

Doporučil bych (a) IDZ 11.2 - Možnost 9. Řešení Ryabushko A.P. všem studentům, kteří chtějí získat vysokou známku.