1. Per risolvere questo problema, troviamo una soluzione generale all'equazione differenziale y´´´= cos2x. Integrando questa equazione tre volte, otteniamo y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, dove C1 e C2 sono costanti arbitrarie. Integrando l'ultima espressione, otteniamo y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, dove C3 è un'altra costante arbitraria. Sostituendo le condizioni iniziali, otteniamo un sistema di equazioni: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Pertanto, la soluzione parziale ha la forma y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Per trovare la soluzione generale di questa equazione differenziale y´´ = −x/y´, moltiplica entrambi i membri per y´ e integra due volte: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ 'dy' - y'dy'' = xdy. Quando integriamo per parti, otteniamo y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, dove C1 è una costante arbitraria. Risolvendo questa equazione per y´, otteniamo y´ = ±sqrt(C1 - x2) e, di conseguenza, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, dove C2 è un'altra costante arbitraria . Pertanto, la soluzione generale è y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Per risolvere il problema di Cauchy per l'equazione differenziale y´´ = 1 − y´2 con le condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) = 0, facciamo la sostituzione y´ = p(y) e otteniamo l'equazione p´dp/ dy = 1 - p2. Integrando questa equazione, otteniamo p = sin(y + C1), dove C1 è una costante arbitraria. Sostituendo questa espressione nell'equazione y´ = p(y), otteniamo y´ = sin(y + C1). Integrando questa equazione, otteniamo y = -cos(y + C1) + C2, dove C2 è un'altra costante arbitraria. Sostituendo le condizioni iniziali, otteniamo C1 = 0, C2 = 1. Pertanto, la soluzione del problema di Cauchy ha la forma y = 1 - cos(y).

4. Questa equazione differenziale può essere ridotta alla forma dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), che può essere risolta con il metodo della separazione delle variabili. Dopo semplici trasformazioni algebriche otteniamo: (y + x)dx + 2ydy = 0. Integrando questa equazione, otteniamo x2 + 2y2 + 2xy = C, dove C è la costante di integrazione.

5. Sia l'equazione della curva passante per il punto A(x0, y0) la forma y = kx + b, dove k e b sono coefficienti. Allora il coefficiente angolare della tangente nel punto (x0, y0) è uguale a k, e il coefficiente angolare della retta che collega il punto A con l'origine è uguale a y0/x0. Dalle condizioni del problema segue che k = n*(y0/x0), dove n è un numero dato. Pertanto, l’equazione della curva è y = n*(y0/x0)x+b. Sostituendo le coordinate del punto A otteniamo y = 9(-4/6)*x + 10, ovvero l'equazione della curva è y = (-6/2)x + 10, che equivale a y = -3x + 10.

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IDZ 11.2 – Opzione 9. Soluzioni di Ryabushko A.P.

1. Trova una soluzione particolare all'equazione differenziale

Viene data l'equazione differenziale y´´´= cos2x. Troviamo una soluzione generale integrando questa equazione tre volte:

y´´= (1/2)sen2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

dove C1, C2 e C3 sono costanti arbitrarie.

Sostituendo le condizioni iniziali y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, otteniamo C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Quindi, una soluzione particolare ha la forma:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Valore della funzione in x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale

L'equazione differenziale y´´ = −x/y´ è data. Per trovare la soluzione generale, moltiplica entrambi i membri per y´ e integra due volte:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Quando integriamo per parti otteniamo:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

dove C1 è una costante arbitraria.

Risolvendo questa equazione per y´, otteniamo:

y´ = ±quadrato(C1 - x2)

e, di conseguenza,

y = ±(1/2)int(quadrato(C1 - x2)dx) + C2,

dove C2 è un'altra costante arbitraria.

Pertanto, la soluzione generale è simile a:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Risolvi il problema di Cauchy per un'equazione differenziale

Data l'equazione differenziale y´´ = 1 − y´2 e le condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) =0. Facciamo la sostituzione y´ = p(y) e otteniamo l'equazione:

p´dp/dy = 1 - p2.

Integrando questa equazione, otteniamo:

p = peccato(y + C1),

dove C1 è una costante arbitraria.

Sostituendo questa espressione nell'equazione y´ = p(y), otteniamo:

y´ = sin(y + C1).

Integrando questa equazione, otteniamo:

y = -cos(y + C1) + C2,

dove C2 è un'altra costante arbitraria.

Utilizzando le condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) = 0, otteniamo:

C1 = 0, C2 = 1.

Quindi, la soluzione al problema di Cauchy ha la forma:

y = -cos(y) + 1,

o, in modo equivalente,

cos(y) = 1 - y.

Quindi, la soluzione del problema di Cauchy è data dall'equazione cos(y) = 1 - y, dove y = y(x) è la soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 0, y´(0) = 0.

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IDZ 11.2 – Opzione 9. Soluzioni Ryabushko A.P. è un insieme di soluzioni a problemi di analisi matematica ed equazioni differenziali, completate dall'autore Ryabushko A.P.

Questo progetto contiene soluzioni ai seguenti problemi:

1. Trova una soluzione particolare all'equazione differenziale e calcola il valore della funzione risultante y=φ(x) in x=x0 con precisione fino a due cifre decimali. L'equazione differenziale ha la forma y´´´= cos2x, le condizioni iniziali sono date y(0) = 1, y´´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, occorre trovare una soluzione in x = π.

2. Trovare una soluzione generale di un'equazione differenziale che può essere ridotta in ordine. L'equazione è y´´ = −x/y´.

3. Risolvi il problema di Cauchy per un'equazione differenziale che ammette una riduzione dell'ordine. L'equazione ha la forma y´´ = 1 − y´2, sono date le condizioni iniziali y´´ = 0, y´(0) = 0.

4. Integra l'equazione x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Scrivere l'equazione di una curva passante per il punto A(x0, y0), se è noto che il coefficiente angolare della tangente in ogni punto è n volte maggiore del coefficiente angolare della retta che collega lo stesso punto con la origine. Dato un punto A(−6, 4) e n = 9.

Ad ogni problema viene fornita una soluzione dettagliata, progettata in Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule.

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