1. この問題を解決するには、微分方程式 y´´´= cos2x の一般解を見つけてみましょう。この式を 3 回積分すると、y´´= (1/2)sin2x + C1、y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2 が得られます。ここで、C1 と C2 は任意の定数です。最後の式を統合すると、y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3 が得られます。ここで、C3 は別の任意の定数です。初期条件を代入すると、C1 = 0、C2 = 1/8、C3 = 23/64 という連立方程式が得られます。したがって、部分解は y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64) の形式になります。

2. この微分方程式 y´´ = −x/y´ の一般解を求めるには、両辺に y´ を掛けて 2 回積分します: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ 「dy 」 - y「dy」」 = xdy。部分ごとに積分すると、y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1 が得られます。ここで、C1 は任意の定数です。この方程式を y´ について解くと、y´ = ±sqrt(C1 - x2)、したがって y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2 が得られます。ここで、C2 は別の任意の定数です。 。したがって、一般的な解は y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2 となります。

3. 初期条件 y(0) = 0、y´(0) = 0 で微分方程式 y´´ = 1 − y´2 のコーシー問題を解くには、代入 y´ = p(y) を実行して次を取得します。方程式 p´dp/dy = 1 - p2。この方程式を積分すると、p = sin(y + C1) が得られます。ここで、C1 は任意の定数です。この式を方程式 y´ = p(y) に代入すると、y´ = sin(y + C1) が得られます。この方程式を積分すると、y = -cos(y + C1) + C2 が得られます。ここで、C2 は別の任意の定数です。初期条件を代入すると、C1 = 0、C2 = 1 が得られます。したがって、コーシー問題の解は y = 1 - cos(y) の形式になります。

4. この微分方程式は dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)) の形式に還元でき、変数分離法で解くことができます。単純な代数変換の後、(y + x)dx + 2ydy = 0 が得られます。この方程式を積分すると、x2 + 2y2 + 2xy = C が得られます。ここで、C は積分定数です。

5. 点 A(x0, y0) を通過する曲線の方程式の形式が y = kx + b であるとします。ここで、k と b は係数です。このとき、点 (x0, y0) における接線の角度係数は k に等しく、点 A と原点を結ぶ直線の角度係数は y0/x0 に等しくなります。問題の条件から、k = n*(y0/x0) ということがわかります。ここで、n は指定された数です。したがって、曲線の方程式は y = n*(y0/x0) となります。x + b.点 A の座標を代入すると、y = 9 が得られます。(-4/6)*x + 10、つまり、曲線の方程式は y = (-6/2)x + 10 であり、これは y = -3x + 10 と同等です。

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IDZ 11.2 – オプション 9. Ryabushko A.P. のソリューション

1.微分方程式の特定の解を見つける

微分方程式 y´´´= cos2x が与えられます。この方程式を 3 回積分して、一般的な解を見つけてみましょう。

y´´= (1/2)sin2x + C1、

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2、

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3、

ここで、C1、C2、および C3 は任意の定数です。

初期条件 y(0) = 1、y´(0) = −1/8、y´´(0) = 0 を代入すると、C1 = 0、C2 = 1/8、C3 = 23/ が得られます。 64.

したがって、特定のソリューションは次の形式になります。

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

x=π における関数の値:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0.17

2.微分方程式の一般解を求めます

微分方程式 y´´ = −x/y´ が与えられます。一般的な解を求めるには、両辺に y´ を掛けて 2 回積分します。

y´dy´´ = -xdy´、

y´´dy´ = -xdy、

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy。

部分ごとに統合すると、次のようになります。

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1、

ここで、C1 は任意の定数です。

この方程式を y´ について解くと、次のようになります。

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

それに応じて

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2、

ここで、C2 は別の任意の定数です。

したがって、一般的な解決策は次のようになります。

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2。

3.微分方程式のコーシー問題を解く

微分方程式 y´´ = 1 − y´2 と初期条件 y(0) = 0、y´(0) =0 が与えられるとします。 y´ = p(y) を置き換えて、方程式を取得しましょう。

p´dp/dy = 1 - p2。

この方程式を積分すると、次のようになります。

p = sin(y + C1),

ここで、C1 は任意の定数です。

この式を方程式 y´ = p(y) に代入すると、次のようになります。

y´ = sin(y + C1)。

この方程式を積分すると、次のようになります。

y = -cos(y + C1) + C2、

ここで、C2 は別の任意の定数です。

初期条件 y(0) = 0、y´(0) = 0 を使用すると、次の結果が得られます。

C1 = 0、C2 = 1。

したがって、コーシー問題の解は次の形式になります。

y = -cos(y) + 1、

または同様に、

cos(y) = 1 - y。

したがって、コーシー問題の解は方程式 cos(y) = 1 - y で与えられます。ここで、y = y(x) は、初期条件 y(0) = 0 を満たす微分方程式の解です。 y´(0) = 0。

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IDZ 11.2 – オプション 9. ソリューション Ryabushko A.P.著者 Ryabushko A.P. によって完成された、数学的解析および微分方程式の問題に対する一連の解決策です。

このプロジェクトには、次の問題に対する解決策が含まれています。

1. 微分方程式の特定の解を見つけて、結果として得られる関数 y=φ(x) の値 (x=x0 における値) を小数点以下 2 桁まで正確に計算します。微分方程式の形式は y´´´= cos2x、初期条件は y(0) = 1、y´(0) = −1/8、y´´(0) = 0 と与えられ、次を見つける必要があります。 x = π における解。

2. 次数で還元できる微分方程式の一般解を求めます。方程式は y´´ = −x/y´ です。

3. 次数の削減を認める微分方程式のコーシー問題を解きます。方程式の形式は y´´ = 1 − y´2 で、初期条件 y(0) = 0、y´(0) = 0 が与えられます。

4. 方程式 x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0 を積分します。

5. 任意の点の接線の角度係数が、同じ点と点を結ぶ直線の角度係数より n 倍大きいことがわかっている場合、点 A(x0, y0) を通過する曲線の方程式を書き留めます。起源。点 A(−6, 4) および n = 9 が与えられるとします。

各問題には、数式エディタを使用して Microsoft Word 2003 で設計された詳細な解決策が提供されます。

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