1. За да разрешим този проблем, нека намерим общо решение на диференциалното уравнение y´´´= cos2x. Интегрирайки това уравнение три пъти, получаваме y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, където C1 и C2 са произволни константи. Интегрирайки последния израз, получаваме y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, където C3 е друга произволна константа. Замествайки началните условия, получаваме система от уравнения: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Така частичното решение има формата y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. За да намерите общото решение на това диференциално уравнение y´´ = −x/y´, умножете двете страни по y´ и интегрирайте два пъти: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. При интегриране по части получаваме y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, където C1 е произволна константа. Решавайки това уравнение за y´, получаваме y´ = ±sqrt(C1 - x2) и, съответно, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, където C2 е друга произволна константа . Така общото решение е y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. За да решим проблема на Коши за диференциалното уравнение y´´ = 1 − y´2 с началните условия y(0) = 0, y´(0) = 0, правим заместването y´ = p(y) и получаваме уравнението p´dp/ dy = 1 - p2. Интегрирайки това уравнение, получаваме p = sin(y + C1), където C1 е произволна константа. Замествайки този израз в уравнението y´ = p(y), получаваме y´ = sin(y + C1). Интегрирайки това уравнение, получаваме y = -cos(y + C1) + C2, където C2 е друга произволна константа. Замествайки началните условия, получаваме C1 = 0, C2 = 1. Така решението на задачата на Коши има формата y = 1 - cos(y).

4. Това диференциално уравнение може да се сведе до формата dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), което може да бъде решено чрез метода на разделяне на променливите. След прости алгебрични трансформации получаваме: (y + x)dx + 2ydy = 0. Интегрирайки това уравнение, получаваме x2 + 2y2 + 2xy = C, където C е константата на интегриране.

5. Нека уравнението на кривата, минаваща през точката A(x0, y0), има формата y = kx + b, където k и b са коефициенти. Тогава ъгловият коефициент на допирателната в точката (x0, y0) е равен на k, а ъгловият коефициент на правата, свързваща точка A с началото, е равен на y0/x0. От условията на задачата следва, че k = n*(y0/x0), където n е дадено число. Така уравнението на кривата е y = n*(y0/x0)x + b. Замествайки координатите на точка А, получаваме y = 9(-4/6)*x + 10, тоест уравнението на кривата е y = (-6/2)x + 10, което е еквивалентно на y = -3x + 10.

Напишете описание на продукта - дигитален продукт в магазин за дигитални стоки с красив html дизайн: "IDZ 11.2 - Вариант 9. Решения на Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Вариант 9. Решения на Ryabushko A.P.

1. Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение

Дадено е диференциалното уравнение y´´´= cos2x. Нека намерим общо решение, като интегрираме това уравнение три пъти:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

където C1, C2 и C3 са произволни константи.

Замествайки началните условия y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, получаваме C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Така дадено решение има формата:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Стойност на функцията при x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Дадено е диференциалното уравнение y´´ = −x/y´. За да намерите общото решение, умножете двете страни по y´ и интегрирайте два пъти:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

При интегриране по части получаваме:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

където C1 е произволна константа.

Решавайки това уравнение за y´, получаваме:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

и, съответно,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

където C2 е друга произволна константа.

Така общото решение изглежда така:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Решете проблема на Коши за диференциално уравнение

При дадено диференциално уравнение y´´ = 1 − y´2 и началните условия y(0) = 0, y´(0) =0. Нека направим замяната y´ = p(y) и ще получим уравнението:

p´dp/dy = 1 - p2.

Интегрирайки това уравнение, получаваме:

p = sin(y + C1),

където C1 е произволна константа.

Замествайки този израз в уравнението y´ = p(y), получаваме:

y´ = sin(y + C1).

Интегрирайки това уравнение, получаваме:

y = -cos(y + C1) + C2,

където C2 е друга произволна константа.

Използвайки началните условия y(0) = 0, y´(0) = 0, получаваме:

C1 = 0, C2 = 1.

По този начин решението на задачата на Коши има формата:

y = -cos(y) + 1,

или еквивалентно,

cos(y) = 1 - y.

По този начин решението на проблема на Коши е дадено от уравнението cos(y) = 1 - y, където y = y(x) е решението на диференциалното уравнение, удовлетворяващо началните условия y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Вариант 9. Решения Ryabushko A.P. е набор от решения на задачи по математически анализ и диференциални уравнения, попълнен от автора Ryabushko A.P.

Този проект съдържа решения на следните проблеми:

1. Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение и изчислете стойността на получената функция y=φ(x) при x=x0 с точност до два знака след десетичната запетая. Диференциалното уравнение има формата y´´´= cos2x, дадени са началните условия y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, изисква се да се намери решение при x = π.

2. Намерете общо решение на диференциално уравнение, което може да бъде редуцирано. Уравнението е y´´ = −x/y´.

3. Решете проблема на Коши за диференциално уравнение, което допуска редукция. Уравнението има формата y´´ = 1 − y´2, дадени са началните условия y(0) = 0, y´(0) = 0.

4. Интегрирайте уравнението x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Напишете уравнението на крива, минаваща през точката A(x0, y0), ако е известно, че ъгловият коефициент на допирателната във всяка точка е n пъти по-голям от ъгловия коефициент на правата линия, свързваща същата точка с произход. Дадена е точка A(−6, 4) и n = 9.

Всеки проблем е снабден с подробно решение, проектирано в Microsoft Word 2003 с помощта на редактора на формули.

***

1. Решенията на IDS 11.2 – Вариант 9 са добре структурирани и разбираеми.
2. Благодарение на решенията на Ryabushko A.P. според IDZ 11.2 - Вариант 9 успях бързо и лесно да усвоя нова тема.
3. Решенията на IDZ 11.2 – Вариант 9 ми помогнаха да подобря знанията си по математика.
4. Решенията IDS 11.2 – Вариант 9 са представени в удобен формат и са лесно достъпни.
5. Препоръчвам да използвате Решения на Ryabushko A.P. по IDZ 11.2 - Вариант 9 за всички, които желаят да изпълнят успешно задачите.
6. Решенията на IPD 11.2 – Вариант 9 ми помогнаха да повиша увереността си в знанията си.
7. Решения Ryabushko A.P. за IDZ 11.2 – Опция 9 съдържа полезни съвети и съвети за решаване на проблеми.
8. Благодаря ви, IDS Solutions 11.2 – Вариант 9 ми помогна да се справя с домашното.
9. Бързо и лесно намерих нужната ми информация в Solutions by Ryabushko A.P. съгласно IDZ 11.2 – Вариант 9.
10. Решенията на IDZ 11.2 – Вариант 9 ми помогнаха да разбера по-добре материала и да се подготвя за изпита.

Особености:

Отлично решение за тези, които искат успешно да преминат IDZ 11.2 - Вариант 9.

Решения Ryabushko A.P. да ви помогне да изпълните задачата бързо и правилно.

Благодаря ви за толкова полезен дигитален продукт!

Решенията са много достъпни и ясно посочени.

Благодарение на IDZ 11.2 - Вариант 9. Ryabushko A.P. Успях да получа отлична оценка.

Супер удобен формат - може да се използва на компютър или да се разпечата.

Отличен избор за тези, които искат да спестят време и нерви.

Решения Ryabushko A.P. ми помогна да разбера по-добре материала.

Благодаря ви за толкова подробен и висококачествен продукт!

Бих препоръчал (a) IDZ 11.2 - Вариант 9. Решения Ryabushko A.P. на всички ученици, които искат да получат висока оценка.