1. Para resolver este problema, encontremos una solución general a la ecuación diferencial y´´´= cos2x. Integrando esta ecuación tres veces, obtenemos y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Integrando la última expresión, obtenemos y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, donde C3 es otra constante arbitraria. Sustituyendo las condiciones iniciales, obtenemos un sistema de ecuaciones: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Por tanto, la solución parcial tiene la forma y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Para encontrar la solución general a esta ecuación diferencial y´´ = −x/y´, multiplica ambos lados por y´ e integra dos veces: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy´ - y´dy´´ = xdy. Al integrar por partes obtenemos y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, donde C1 es una constante arbitraria. Resolviendo esta ecuación para y´, obtenemos y´ = ±sqrt(C1 - x2) y, en consecuencia, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, donde C2 es otra constante arbitraria . Por tanto, la solución general es y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Para resolver el problema de Cauchy para la ecuación diferencial y´´ = 1 − y´2 con las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 0, hacemos la sustitución y´ = p(y) y obtenemos la ecuación p´dp/ dy = 1 - p2. Integrando esta ecuación, obtenemos p = sin(y + C1), donde C1 es una constante arbitraria. Sustituyendo esta expresión en la ecuación y´ = p(y), obtenemos y´ = sin(y + C1). Al integrar esta ecuación, obtenemos y = -cos(y + C1) + C2, donde C2 es otra constante arbitraria. Sustituyendo las condiciones iniciales, obtenemos C1 = 0, C2 = 1. Por tanto, la solución al problema de Cauchy tiene la forma y = 1 - cos(y).

4. Esta ecuación diferencial se puede reducir a la forma dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), que se puede resolver mediante el método de separación de variables. Después de transformaciones algebraicas simples, obtenemos: (y + x)dx + 2ydy = 0. Integrando esta ecuación, obtenemos x2 + 2y2 + 2xy = C, donde C es la constante de integración.

5. Sea la ecuación de la curva que pasa por el punto A(x0, y0) la forma y = kx + b, donde k y b son coeficientes. Entonces el coeficiente angular de la tangente en el punto (x0, y0) es igual a k, y el coeficiente angular de la recta que conecta el punto A con el origen es igual a y0/x0. De las condiciones del problema se deduce que k = n*(y0/x0), donde n es un número dado. Por tanto, la ecuación de la curva es y = n*(y0/x0)x + b. Sustituyendo las coordenadas del punto A, obtenemos y = 9(-4/6)*x + 10, es decir, la ecuación de la curva es y = (-6/2)x + 10, lo que equivale a y = -3x + 10.

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IDZ 11.2 – Opción 9. Soluciones de Ryabushko A.P.

1. Encuentra una solución particular a la ecuación diferencial

Se da la ecuación diferencial y´´´= cos2x. Encontremos una solución general integrando esta ecuación tres veces:

y´´= (1/2)sen2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sen2x - (1/4)xsen2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

donde C1, C2 y C3 son constantes arbitrarias.

Sustituyendo las condiciones iniciales y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, obtenemos C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Por lo tanto, una solución particular tiene la forma:

y= (1/8)sen2x - (1/4)xsen2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Valor de la función en x=π:

y(π) = (1/8)sen2π - (1/4)πsen2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Encuentra la solución general de la ecuación diferencial

Se da la ecuación diferencial y´´ = −x/y´. Para encontrar la solución general, multiplica ambos lados por y´ e integra dos veces:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Al integrar por partes obtenemos:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

donde C1 es una constante arbitraria.

Resolviendo esta ecuación para y´, obtenemos:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

y, en consecuencia,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

donde C2 es otra constante arbitraria.

Por tanto, la solución general queda así:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Resuelve el problema de Cauchy para una ecuación diferencial

Dada la ecuación diferencial y´´ = 1 − y´2 y las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) =0. Hagamos el reemplazo y´ = p(y) y obtengamos la ecuación:

p´dp/dy = 1 - p2.

Integrando esta ecuación, obtenemos:

p = pecado(y + C1),

donde C1 es una constante arbitraria.

Sustituyendo esta expresión en la ecuación y´ = p(y), obtenemos:

y´ = sen(y + C1).

Integrando esta ecuación, obtenemos:

y = -cos(y + C1) + C2,

donde C2 es otra constante arbitraria.

Usando las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 0, obtenemos:

C1 = 0, C2 = 1.

Así, la solución al problema de Cauchy tiene la forma:

y = -cos(y) + 1,

o, equivalentemente,

cos(y) = 1 - y.

Así, la solución al problema de Cauchy viene dada por la ecuación cos(y) = 1 - y, donde y = y(x) es la solución a la ecuación diferencial que satisface las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 0.

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IDZ 11.2 – Opción 9. Soluciones Ryabushko A.P. es un conjunto de soluciones a problemas de análisis matemático y ecuaciones diferenciales, completado por el autor Ryabushko A.P.

Este proyecto contiene soluciones a los siguientes problemas:

1. Encuentre una solución particular a la ecuación diferencial y calcule el valor de la función resultante y=φ(x) en x=x0 con una precisión de dos decimales. La ecuación diferencial tiene la forma y´´´= cos2x, las condiciones iniciales están dadas y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, se requiere encontrar una solución en x = π.

2. Encuentre una solución general a una ecuación diferencial que pueda reducirse en orden. La ecuación es y´´ = −x/y´.

3. Resuelva el problema de Cauchy para una ecuación diferencial que admita una reducción de orden. La ecuación tiene la forma y´´ = 1 − y´2, se dan las condiciones iniciales y(0) = 0, y´(0) = 0.

4. Integra la ecuación x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Escriba la ecuación de una curva que pasa por el punto A(x0, y0), si se sabe que el coeficiente angular de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que el coeficiente angular de la recta que une el mismo punto con el origen. Dado un punto A(−6, 4) y n = 9.

Cada problema cuenta con una solución detallada, diseñada en Microsoft Word 2003 utilizando el editor de fórmulas.

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