1. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, ας βρούμε μια γενική λύση στη διαφορική εξίσωση y´´´= cos2x. Ολοκληρώνοντας αυτήν την εξίσωση τρεις φορές, λαμβάνουμε y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, όπου οι C1 και C2 είναι αυθαίρετες σταθερές. Ενσωματώνοντας την τελευταία παράσταση, παίρνουμε y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, όπου το C3 είναι μια άλλη αυθαίρετη σταθερά. Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Έτσι, το μερικό διάλυμα έχει τη μορφή y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Για να βρείτε τη γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης y´´ = -x/y´, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με το y´ και ολοκληρώστε δύο φορές: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Όταν ολοκληρώνουμε ανά μέρη, λαμβάνουμε y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Λύνοντας αυτήν την εξίσωση για το y´, λαμβάνουμε y´ = ±sqrt(C1 - x2) και, κατά συνέπεια, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, όπου το C2 είναι μια άλλη αυθαίρετη σταθερά . Έτσι, η γενική λύση είναι y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Για να λύσουμε το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση y´´ = 1 − y´2 με τις αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 0, κάνουμε την αντικατάσταση y´ = p(y) και παίρνουμε η εξίσωση p´dp/ dy = 1 - p2. Ολοκληρώνοντας αυτήν την εξίσωση, λαμβάνουμε p = sin(y + C1), όπου το C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στην εξίσωση y´ = p(y), λαμβάνουμε y´ = sin(y + C1). Ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε y = -cos(y + C1) + C2, όπου το C2 είναι μια άλλη αυθαίρετη σταθερά. Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, λαμβάνουμε C1 = 0, C2 = 1. Έτσι, η λύση στο πρόβλημα Cauchy έχει τη μορφή y = 1 - cos(y).

4. Αυτή η διαφορική εξίσωση μπορεί να αναχθεί στη μορφή dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), η οποία μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο διαχωρισμού μεταβλητών. Μετά από απλούς αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, λαμβάνουμε: (y + x)dx + 2ydy = 0. Ολοκληρώνοντας αυτή την εξίσωση, λαμβάνουμε x2 + 2y2 + 2xy = C, όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης.

5. Έστω η εξίσωση της καμπύλης που διέρχεται από το σημείο A(x0, y0) έχει τη μορφή y = kx + b, όπου k και b είναι συντελεστές. Τότε ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στο σημείο (x0, y0) είναι ίσος με k και ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας που συνδέει το σημείο Α με την αρχή είναι ίσος με y0/x0. Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι k = n*(y0/x0), όπου n είναι ένας δεδομένος αριθμός. Έτσι, η εξίσωση της καμπύλης είναι y = n*(y0/x0)x + β. Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Α, παίρνουμε y = 9(-4/6)*x + 10, δηλαδή η εξίσωση της καμπύλης είναι y = (-6/2)x + 10, που ισοδυναμεί με y = -3x + 10.

Γράψτε μια περιγραφή του προϊόντος - ένα ψηφιακό προϊόν σε ένα κατάστημα ψηφιακών ειδών με όμορφο σχέδιο html: "IDZ 11.2 - Επιλογή 9. Λύσεις από την Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Επιλογή 9. Λύσεις της Ryabushko A.P.

1. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση

Δίνεται η διαφορική εξίσωση y´´´= cos2x. Ας βρούμε μια γενική λύση ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση τρεις φορές:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

όπου C1, C2 και C3 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, λαμβάνουμε C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Έτσι, μια συγκεκριμένη λύση έχει τη μορφή:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Τιμή της συνάρτησης στο x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

Δίνεται η διαφορική εξίσωση y´´ = −x/y´. Για να βρείτε τη γενική λύση, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές με y´ και ολοκληρώστε δύο φορές:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Κατά την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα παίρνουμε:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

όπου C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση για το y', παίρνουμε:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

και, κατά συνέπεια,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

όπου το C2 είναι μια άλλη αυθαίρετη σταθερά.

Έτσι, η γενική λύση μοιάζει με:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Λύστε το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση

Δίνεται η διαφορική εξίσωση y´´ = 1 − y´2 και οι αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) =0. Ας κάνουμε την αντικατάσταση y´ = p(y) και πάρουμε την εξίσωση:

p´dp/dy = 1 - p2.

Ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε:

p = sin(y + C1),

όπου C1 είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στην εξίσωση y´ = p(y), παίρνουμε:

y´ = sin(y + C1).

Ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε:

y = -cos(y + C1) + C2,

όπου το C2 είναι μια άλλη αυθαίρετη σταθερά.

Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 0, λαμβάνουμε:

C1 = 0, C2 = 1.

Έτσι, η λύση στο πρόβλημα Cauchy έχει τη μορφή:

y = -cos(y) + 1,

ή, ισοδύναμα,

cos(y) = 1 - y.

Έτσι, η λύση στο πρόβλημα Cauchy δίνεται από την εξίσωση cos(y) = 1 - y, όπου y = y(x) είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Επιλογή 9. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα σύνολο λύσεων σε προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης και διαφορικών εξισώσεων, που ολοκληρώθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P.

Αυτό το έργο περιέχει λύσεις στα ακόλουθα προβλήματα:

1. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση και υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης που προκύπτει y=φ(x) στο x=x0 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Η διαφορική εξίσωση έχει τη μορφή y´´´= cos2x, οι αρχικές συνθήκες δίνονται y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, απαιτείται να βρεθεί μια λύση στο x = π.

2. Βρείτε μια γενική λύση σε μια διαφορική εξίσωση που μπορεί να μειωθεί κατά σειρά. Η εξίσωση είναι y´´ = −x/y´.

3. Λύστε το πρόβλημα Cauchy για μια διαφορική εξίσωση που δέχεται μια μείωση κατά σειρά. Η εξίσωση έχει τη μορφή y´´ = 1 − y´2, δίνονται οι αρχικές συνθήκες y(0) = 0, y´(0) = 0.

4. Ολοκληρώστε την εξίσωση x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Να γράψετε την εξίσωση μιας καμπύλης που διέρχεται από το σημείο A(x0, y0), αν είναι γνωστό ότι ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο είναι n φορές μεγαλύτερος από τον γωνιακό συντελεστή της ευθείας που συνδέει το ίδιο σημείο με την προέλευση. Δίνεται ένα σημείο A(−6, 4) και n = 9.

Κάθε πρόβλημα παρέχεται με μια λεπτομερή λύση, σχεδιασμένη στο Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων.

***

1. Οι λύσεις του IDS 11.2 – Επιλογή 9 είναι καλά δομημένες και κατανοητές.
2. Χάρη στις Αποφάσεις της Ryabushko A.P. σύμφωνα με το IDZ 11.2 - Επιλογή 9, μπόρεσα να κατακτήσω γρήγορα και εύκολα ένα νέο θέμα.
3. Οι λύσεις του IDZ 11.2 – Επιλογή 9 με βοήθησαν να βελτιώσω τις γνώσεις μου στα μαθηματικά.
4. IDS 11.2 – Οι λύσεις επιλογής 9 παρουσιάζονται σε βολική μορφή και είναι εύκολα προσβάσιμες.
5. Συνιστώ να χρησιμοποιήσετε το Solutions by Ryabushko A.P. σύμφωνα με το IDZ 11.2 - Επιλογή 9 για όλους όσους θέλουν να ολοκληρώσουν με επιτυχία τις εργασίες.
6. Οι λύσεις του IPD 11.2 – Επιλογή 9 με βοήθησαν να αυξήσω την εμπιστοσύνη μου στις γνώσεις μου.
7. Αποφάσεις Ryabushko A.P. για το IDZ 11.2 – Η επιλογή 9 περιέχει χρήσιμες συμβουλές και υποδείξεις για την επίλυση προβλημάτων.
8. Ευχαριστώ, το IDS Solutions 11.2 – Option 9 με βοήθησε να ανταπεξέλθω στην εργασία μου.
9. Βρήκα γρήγορα και εύκολα τις πληροφορίες που χρειαζόμουν στο Solutions by Ryabushko A.P. σύμφωνα με το IDZ 11.2 – Επιλογή 9.
10. Οι λύσεις στο IDZ 11.2 – Επιλογή 9 με βοήθησαν να κατανοήσω καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστώ για την εξέταση.

Ιδιαιτερότητες:

Μια εξαιρετική λύση για όσους θέλουν να περάσουν με επιτυχία το IDZ 11.2 - Επιλογή 9.

Λύσεις Ryabushko A.P. σας βοηθά να ολοκληρώσετε την εργασία γρήγορα και σωστά.

Σας ευχαριστούμε για ένα τόσο χρήσιμο ψηφιακό προϊόν!

Οι λύσεις είναι πολύ προσιτές και δηλωμένες με σαφήνεια.

Χάρη στο IDZ 11.2 - Επιλογή 9. Ryabushko A.P. Κατάφερα να πάρω έναν άριστο βαθμό.

Εξαιρετικά εύχρηστη μορφή - μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε υπολογιστή ή να εκτυπωθεί.

Μια εξαιρετική επιλογή για όσους θέλουν να εξοικονομήσουν χρόνο και νεύρα.

Λύσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα το υλικό.

Σας ευχαριστούμε για ένα τόσο λεπτομερές και υψηλής ποιότητας προϊόν!

Θα συνιστούσα (α) IDZ 11.2 - Επιλογή 9. Λύσεις Ryabushko A.P. σε όλους τους μαθητές που θέλουν να πάρουν υψηλό βαθμό.