1. Tämän ongelman ratkaisemiseksi etsitään yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle y´´´= cos2x. Integroimalla tämä yhtälö kolme kertaa saadaan y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, missä C1 ja C2 ovat mielivaltaisia ​​vakioita. Integroimalla viimeinen lauseke saadaan y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, jossa C3 on toinen mielivaltainen vakio. Kun alkuehdot korvataan, saadaan yhtälöjärjestelmä: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Siten osaratkaisu on muotoa y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Löytääksesi yleisen ratkaisun tälle differentiaaliyhtälölle y´´ = −x/y´ kerro molemmat puolet y´:lla ja integroi kahdesti: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ 'dy' - y'dy'' = xdy. Osittain integroitaessa saadaan y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, missä C1 on mielivaltainen vakio. Kun tämä yhtälö y´:lle ratkaistaan, saadaan y´ = ±sqrt(C1 - x2) ja vastaavasti y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, missä C2 on toinen mielivaltainen vakio . Siten yleinen ratkaisu on y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Ratkaistaksemme Cauchyn ongelman differentiaaliyhtälölle y´´ = 1 − y´2 alkuehdoilla y(0) = 0, y´(0) = 0, teemme substituution y´ = p(y) ja saamme yhtälö p´dp/dy = 1 - p2. Integroimalla tämä yhtälö saadaan p = sin(y + C1), missä C1 on mielivaltainen vakio. Kun tämä lauseke korvataan yhtälöllä y´ = p(y), saadaan y´ = sin(y + C1). Integroimalla tämä yhtälö saadaan y = -cos(y + C1) + C2, missä C2 on toinen mielivaltainen vakio. Alkuehdot korvaamalla saadaan C1 = 0, C2 = 1. Siten Cauchyn ongelman ratkaisu on muotoa y = 1 - cos(y).

4. Tämä differentiaaliyhtälö voidaan pelkistää muotoon dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), joka voidaan ratkaista muuttujien erottelumenetelmällä. Yksinkertaisten algebrallisten muunnosten jälkeen saadaan: (y + x)dx + 2ydy = 0. Integroimalla tämä yhtälö saadaan x2 + 2y2 + 2xy = C, missä C on integroinnin vakio.

5. Olkoon pisteen A(x0, y0) läpi kulkevan käyrän yhtälö muotoa y = kx + b, missä k ja b ovat kertoimia. Tällöin tangentin kulmakerroin pisteessä (x0, y0) on yhtä suuri kuin k ja pisteen A yhdistävän suoran kulmakerroin on yhtä suuri kuin y0/x0. Tehtävän ehdoista seuraa, että k = n*(y0/x0), missä n on annettu luku. Siten käyrän yhtälö on y = n*(y0/x0)x + b. Korvaamalla pisteen A koordinaatit, saadaan y = 9(-4/6)*x + 10, eli käyrän yhtälö on y = (-6/2)x + 10, mikä vastaa y = -3x + 10.

Kirjoita tuotteen kuvaus - digitaalinen tuote digitaalisessa tavarakaupassa kauniilla html-muotoilulla: "IDZ 11.2 - Option 9. Solutions by Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Vaihtoehto 9. Ryabushko A.P.:n ratkaisut

1. Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle

Differentiaaliyhtälö y´´´= cos2x on annettu. Etsitään yleinen ratkaisu integroimalla tämä yhtälö kolme kertaa:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

jossa C1, C2 ja C3 ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

Korvaamalla alkuehdot y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, saadaan C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Näin tietyn ratkaisun muoto on:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Funktion arvo kohdassa x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön

Differentiaaliyhtälö y´´ = −x/y´ on annettu. Yleisen ratkaisun löytämiseksi kerro molemmat puolet y´:lla ja integroi kahdesti:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Osittain integroitaessa saamme:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

jossa C1 on mielivaltainen vakio.

Ratkaisemalla tämän yhtälön y´:lle saamme:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

ja vastaavasti

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

jossa C2 on toinen mielivaltainen vakio.

Yleinen ratkaisu näyttää siis tältä:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle

Kun on annettu differentiaaliyhtälö y´´ = 1 − y´2 ja alkuehdot y(0) = 0, y´(0) =0. Tehdään korvaus y´ = p(y) ja saadaan yhtälö:

p´dp/dy = 1 - p2.

Integroimalla tämän yhtälön saamme:

p = sin(y + C1),

jossa C1 on mielivaltainen vakio.

Kun tämä lauseke korvataan yhtälöllä y´ = p(y), saadaan:

y´ = sin(y + C1).

Integroimalla tämän yhtälön saamme:

y = -cos(y + C1) + C2,

jossa C2 on toinen mielivaltainen vakio.

Käyttämällä alkuehtoja y(0) = 0, y´(0) = 0, saamme:

C1 = 0, C2 = 1.

Siksi Cauchyn ongelman ratkaisulla on muoto:

y = -cos(y) + 1,

tai vastaavasti

cos(y) = 1 - y.

Siksi Cauchyn ongelman ratkaisu saadaan yhtälöstä cos(y) = 1 - y, missä y = y(x) on ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka täyttää alkuehdot y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Vaihtoehto 9. Ratkaisut Ryabushko A.P. on joukko ratkaisuja matemaattisen analyysin ja differentiaaliyhtälöiden ongelmiin, jonka on täydentänyt kirjailija Ryabushko A.P.

Tämä projekti sisältää ratkaisuja seuraaviin ongelmiin:

1. Etsi erityinen ratkaisu differentiaaliyhtälölle ja laske tuloksena olevan funktion y=φ(x) arvo kohdassa x=x0 kahden desimaalin tarkkuudella. Differentiaaliyhtälön muoto on y´´´= cos2x, alkuehdot annetaan y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, täytyy löytää ratkaisu kohdassa x = π.

2. Etsi yleinen ratkaisu differentiaaliyhtälöön, joka voidaan pienentää järjestyksessä. Yhtälö on y´´ = −x/y´.

3. Ratkaise Cauchyn tehtävä differentiaaliyhtälölle, joka sallii pelkistyksen järjestyksessä. Yhtälön muoto on y´´ = 1 − y´2, alkuehdot y(0) = 0, y´(0) = 0 on annettu.

4. Integroi yhtälö x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Kirjoita muistiin pisteen A(x0, y0) läpi kulkevan käyrän yhtälö, jos tiedetään, että tangentin kulmakerroin missä tahansa pisteessä on n kertaa suurempi kuin saman pisteen pisteen kanssa yhdistävän suoran kulmakerroin. alkuperää. Annettu piste A(−6, 4) ja n = 9.

Jokaiseen ongelmaan sisältyy yksityiskohtainen ratkaisu, joka on suunniteltu Microsoft Word 2003:ssa käyttämällä kaavaeditoria.

***

1. IDS 11.2 – vaihtoehdon 9 ratkaisut ovat hyvin jäsenneltyjä ja ymmärrettäviä.
2. Ryabushko A.P:n päätösten ansiosta. IDZ 11.2 - vaihtoehdon 9 mukaan pystyin nopeasti ja helposti hallitsemaan uuden aiheen.
3. IDZ 11.2 – vaihtoehdon 9 ratkaisut auttoivat minua parantamaan matematiikan tietämystäni.
4. IDS 11.2 – Vaihtoehto 9 -ratkaisut on esitetty kätevässä muodossa ja helposti saatavilla.
5. Suosittelen käyttämään Solutions by Ryabushko A.P. IDZ 11.2:n mukaan - Vaihtoehto 9 kaikille, jotka haluavat suorittaa tehtävät onnistuneesti.
6. IPD 11.2 – vaihtoehdon 9 ratkaisut auttoivat minua lisäämään luottamustani tietoihini.
7. Päätökset Ryabushko A.P. IDZ 11.2:lle – Vaihtoehto 9 sisältää hyödyllisiä vinkkejä ja vihjeitä ongelmien ratkaisemiseen.
8. Kiitos, IDS Solutions 11.2 – Vaihtoehto 9 auttoi minua selviytymään läksyistäni.
9. Löysin nopeasti ja helposti tarvitsemani tiedot kohdasta Solutions by Ryabushko A.P. IDZ 11.2:n mukaan – vaihtoehto 9.
10. IDZ 11.2 – vaihtoehdon 9 ratkaisut auttoivat minua ymmärtämään materiaalia paremmin ja valmistautumaan kokeeseen.

Erikoisuudet:

Erinomainen ratkaisu niille, jotka haluavat läpäistä IDZ 11.2 - vaihtoehdon 9.

Ratkaisut Ryabushko A.P. auttaa sinua suorittamaan tehtävän nopeasti ja oikein.

Kiitos hyödyllisestä digitaalisesta tuotteesta!

Ratkaisut ovat helposti saatavilla ja selkeästi esitettyjä.

Kiitos IDZ 11.2 - Vaihtoehto 9. Ryabushko A.P. Sain erinomaisen arvosanan.

Erittäin kätevä muoto - voidaan käyttää tietokoneella tai tulostaa.

Erinomainen valinta niille, jotka haluavat säästää aikaa ja hermoja.

Ratkaisut Ryabushko A.P. auttoi minua ymmärtämään materiaalia paremmin.

Kiitos niin yksityiskohtaisesta ja laadukkaasta tuotteesta!

Suosittelen (a) IDZ 11.2 - vaihtoehto 9. Ratkaisut Ryabushko A.P. kaikille opiskelijoille, jotka haluavat saada korkean arvosanan.