1. 이 문제를 해결하기 위해 미분방정식 y'''= cos2x에 대한 일반해를 찾아보겠습니다. 이 방정식을 세 번 적분하면 y''= (1/2)sin2x + C1, y'= -(1/4)cos2x + C1x + C2를 얻습니다. 여기서 C1과 C2는 임의의 상수입니다. 마지막 표현식을 통합하면 y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3을 얻습니다. 여기서 C3은 또 다른 임의 상수입니다. 초기 조건을 대체하면 C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64 방정식 시스템을 얻습니다. 따라서 부분 해는 y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64) 형식을 갖습니다.

2. 이 미분 방정식 y'' = −x/y'에 대한 일반 해를 찾으려면 양쪽에 y'를 곱하고 두 번 적분하십시오. y'dy'' = -xdy', y''dy' = -xdy, y' 'dy' - y'dy'' = xdy. 부분별로 통합하면 y''y' - (y')2/2 = -(x2/2) + C1을 얻습니다. 여기서 C1은 임의의 상수입니다. y'에 대해 이 방정식을 풀면 y' = ±sqrt(C1 - x2) 및 그에 따라 y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2를 얻습니다. 여기서 C2는 또 다른 임의 상수입니다. . 따라서 일반적인 해는 y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2입니다.

3. 초기 조건 y(0) = 0, y'(0) = 0을 사용하여 미분 방정식 y'' = 1 − y'2에 대한 코시 문제를 풀기 위해 대체 y' = p(y)를 만들고 다음을 얻습니다. 방정식 p'dp/ dy = 1 - p2. 이 방정식을 적분하면 p = sin(y + C1)을 얻습니다. 여기서 C1은 임의의 상수입니다. 이 식을 방정식 y' = p(y)에 대입하면 y' = sin(y + C1)을 얻습니다. 이 방정식을 통합하면 y = -cos(y + C1) + C2를 얻습니다. 여기서 C2는 또 다른 임의 상수입니다. 초기 조건을 대체하면 C1 = 0, C2 = 1을 얻습니다. 따라서 코시 문제의 해는 y = 1 - cos(y) 형식을 갖습니다.

4. 이 미분 방정식은 dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)) 형식으로 축소될 수 있으며, 이는 변수 분리 방법으로 풀 수 있습니다. 간단한 대수 변환 후 다음을 얻습니다: (y + x)dx + 2ydy = 0. 이 방정식을 적분하면 x2 + 2y2 + 2xy = C를 얻습니다. 여기서 C는 적분 상수입니다.

5. 점 A(x0, y0)를 통과하는 곡선의 방정식을 y = kx + b 형식으로 가정합니다. 여기서 k와 b는 계수입니다. 그러면 점 (x0, y0)에서의 접선의 각도계수는 k와 같고, 점 A와 원점을 연결하는 직선의 각도계수는 y0/x0와 같습니다. 문제의 조건에 따르면 k = n*(y0/x0)이 됩니다. 여기서 n은 주어진 숫자입니다. 따라서 곡선의 방정식은 y = n*(y0/x0)입니다.x + 비. 점 A의 좌표를 대체하면 y = 9가 됩니다.(-4/6)*x + 10, 즉 곡선의 ​​방정식은 y = (-6/2)x + 10이며 이는 y = -3x + 10과 동일합니다.

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IDZ 11.2 – 옵션 9. Ryabushko A.P.의 솔루션

1. 미분 방정식에 대한 특정 해 찾기

미분방정식 y'''= cos2x가 주어집니다. 이 방정식을 세 번 적분하여 일반적인 해법을 찾아보겠습니다.

y''= (1/2)sin2x + C1,

y'= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

여기서 C1, C2, C3은 임의의 상수입니다.

초기 조건 y(0) = 1, y'(0) = −1/8, y''(0) = 0을 대체하면 C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/을 얻습니다. 64.

따라서 특정 솔루션의 형식은 다음과 같습니다.

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

x=π에서의 함수 값:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≒ 0.17

2. 미분방정식의 일반해 찾기

미분방정식 y'' = −x/y'가 주어집니다. 일반해를 찾으려면 양변에 y'를 곱하고 두 번 적분하세요.

y'dy'' = -xdy',

y''dy' = -xdy,

y''dy' - y'dy'' = xdy.

부분별로 통합하면 다음을 얻을 수 있습니다.

y''y' - (y')2/2 = -(x2/2) + C1,

여기서 C1은 임의의 상수입니다.

y'에 대해 이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

y' = ±sqrt(C1 - x2)

그리고 그에 따라

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

여기서 C2는 또 다른 임의의 상수입니다.

따라서 일반적인 해결책은 다음과 같습니다:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. 미분 방정식의 코시 문제 풀기

미분방정식 y'' = 1 − y'2이고 초기 조건 y(0) = 0, y'(0) =0이라고 가정합니다. y' = p(y)를 대체하고 방정식을 얻습니다:

p'dp/dy = 1 - p2.

이 방정식을 통합하면 다음을 얻습니다.

p = 죄(y + C1),

여기서 C1은 임의의 상수입니다.

이 식을 방정식 y' = p(y)에 대입하면 다음을 얻습니다.

y' = 죄(y + C1).

이 방정식을 통합하면 다음을 얻습니다.

y = -cos(y + C1) + C2,

여기서 C2는 또 다른 임의의 상수입니다.

초기 조건 y(0) = 0, y'(0) = 0을 사용하여 다음을 얻습니다.

C1 = 0, C2 = 1.

따라서 코시 문제에 대한 해결책은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

y = -cos(y) + 1,

또는 마찬가지로

cos(y) = 1 - y.

따라서 코시 문제의 해는 방정식 cos(y) = 1 - y로 제공됩니다. 여기서 y = y(x)는 초기 조건 y(0) = 0을 충족하는 미분 방정식의 해입니다. y'(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – 옵션 9. 솔루션 Ryabushko A.P. 저자 Ryabushko A.P.가 완성한 수학적 분석 및 미분 방정식의 문제에 대한 솔루션 세트입니다.

이 프로젝트에는 다음 문제에 대한 솔루션이 포함되어 있습니다.

1. 미분방정식의 특정 해를 구하고 x=x0에서 결과 함수 y=ψ(x)의 값을 소수점 이하 두 자리까지 정확하게 계산합니다. 미분 방정식의 형식은 y'''= cos2x이고 초기 조건은 y(0) = 1, y'(0) = −1/8, y''(0) = 0이며 다음을 찾아야 합니다. x = π에서의 해.

2. 순서대로 줄일 수 있는 미분방정식의 일반해를 구합니다. 방정식은 y'' = −x/y'입니다.

3. 순서의 축소를 허용하는 미분 방정식의 코시 문제를 해결합니다. 방정식은 y'' = 1 − y'2 형식을 가지며 초기 조건 y(0) = 0, y'(0) = 0이 제공됩니다.

4. 방정식 x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y'= 0을 적분합니다.

5. 어떤 점에서 접선의 각도계수가 같은 점과 같은 점을 연결하는 직선의 각도계수보다 n배 크다는 것을 안다면, 점 A(x0, y0)를 지나는 곡선의 방정식을 적어라. 기원. 점 A(−6, 4)와 n = 9가 주어졌습니다.

각 문제에는 수식 편집기를 사용하여 Microsoft Word 2003에서 설계된 상세한 솔루션이 제공됩니다.

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