1. For at løse dette problem, lad os finde en generel løsning på differentialligningen y´´´= cos2x. Ved at integrere denne ligning tre gange får vi y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, hvor C1 og C2 er vilkårlige konstanter. Ved at integrere det sidste udtryk får vi y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, hvor C3 er en anden vilkårlig konstant. Ved at erstatte startbetingelserne får vi et ligningssystem: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Den partielle opløsning har således formen y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. For at finde den generelle løsning til denne differentialligning y´´ = −x/y´ skal du gange begge sider med y´ og integrere to gange: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Når vi integrerer med dele, får vi y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, hvor C1 er en vilkårlig konstant. Ved at løse denne ligning for y´ får vi y´ = ±sqrt(C1 - x2) og følgelig y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, hvor C2 er en anden vilkårlig konstant . Den generelle løsning er således y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. For at løse Cauchy-problemet for differentialligningen y´´ = 1 − y´2 med startbetingelserne y(0) = 0, y´(0) = 0, foretager vi substitutionen y´ = p(y) og opnår ligningen p´dp/ dy = 1 - p2. Ved at integrere denne ligning får vi p = sin(y + C1), hvor C1 er en vilkårlig konstant. Ved at indsætte dette udtryk i ligningen y´ = p(y), får vi y´ = sin(y + C1). Ved at integrere denne ligning får vi y = -cos(y + C1) + C2, hvor C2 er en anden vilkårlig konstant. Ved at erstatte startbetingelserne får vi C1 = 0, C2 = 1. Løsningen på Cauchy-problemet har således formen y = 1 - cos(y).

4. Denne differentialligning kan reduceres til formen dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), som kan løses ved hjælp af separationsmetoden. Efter simple algebraiske transformationer får vi: (y + x)dx + 2ydy = 0. Ved at integrere denne ligning får vi x2 + 2y2 + 2xy = C, hvor C er integrationskonstanten.

5. Lad ligningen for kurven, der går gennem punktet A(x0, y0) have formen y = kx + b, hvor k og b er koefficienter. Så er vinkelkoefficienten for tangenten i punktet (x0, y0) lig med k, og vinkelkoefficienten for den lige linje, der forbinder punktet A med origo, er lig med y0/x0. Af betingelserne for opgaven følger det, at k = n*(y0/x0), hvor n er et givet tal. Således er ligningen for kurven y = n*(y0/x0)x + b. Ved at erstatte koordinaterne for punkt A får vi y = 9(-4/6)*x + 10, dvs. kurvens ligning er y = (-6/2)x + 10, hvilket svarer til y = -3x + 10.

Skriv en beskrivelse af produktet - et digitalt produkt i en digital varebutik med et smukt html-design: "IDZ 11.2 - Mulighed 9. Løsninger af Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Mulighed 9. Løsninger af Ryabushko A.P.

1. Find en bestemt løsning på differentialligningen

Differentialligningen y´´´= cos2x er givet. Lad os finde en generel løsning ved at integrere denne ligning tre gange:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

hvor C1, C2 og C3 er vilkårlige konstanter.

Ved at erstatte startbetingelserne y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, får vi C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

En bestemt løsning har således formen:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Værdi af funktionen ved x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Find den generelle løsning til differentialligningen

Differentialligningen y´´ = −x/y´ er givet. For at finde den generelle løsning skal du gange begge sider med y´ og integrere to gange:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Når vi integrerer efter dele, får vi:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

hvor C1 er en vilkårlig konstant.

Ved at løse denne ligning for y´ får vi:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

og følgelig

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

hvor C2 er en anden vilkårlig konstant.

Den generelle løsning ser således ud:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Løs Cauchy-problemet for en differentialligning

Givet differentialligningen y´´ = 1 − y´2 og startbetingelserne y(0) = 0, y´(0) =0. Lad os erstatte y´ = p(y) og få ligningen:

p´dp/dy = 1 - p2.

Ved at integrere denne ligning får vi:

p = sin(y + C1),

hvor C1 er en vilkårlig konstant.

Hvis vi erstatter dette udtryk i ligningen y´ = p(y), får vi:

y´ = sin(y + C1).

Ved at integrere denne ligning får vi:

y = -cos(y + C1) + C2,

hvor C2 er en anden vilkårlig konstant.

Ved brug af startbetingelserne y(0) = 0, y´(0) = 0, får vi:

C1 = 0, C2 = 1.

Således har løsningen på Cauchy-problemet formen:

y = -cos(y) + 1,

eller tilsvarende

cos(y) = 1 - y.

Løsningen på Cauchy-problemet er således givet ved ligningen cos(y) = 1 - y, hvor y = y(x) er løsningen på differentialligningen, der opfylder startbetingelserne y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Mulighed 9. Løsninger Ryabushko A.P. er et sæt af løsninger på problemer i matematisk analyse og differentialligninger, afsluttet af forfatteren Ryabushko A.P.

Dette projekt indeholder løsninger på følgende problemer:

1. Find en bestemt løsning på differentialligningen og beregn værdien af ​​den resulterende funktion y=φ(x) ved x=x0 nøjagtig med to decimaler. Differentialligningen har formen y´´´= cos2x, startbetingelserne er givet y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, det er nødvendigt at finde en løsning ved x = π.

2. Find en generel løsning på en differentialligning, der kan reduceres i rækkefølge. Ligningen er y´´ = −x/y´.

3. Løs Cauchy-problemet for en differentialligning, der tillader en reduktion i rækkefølge. Ligningen har formen y´´ = 1 − y´2, startbetingelserne y(0) = 0, y´(0) = 0 er givet.

4. Integrer ligningen x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y'= 0.

5. Nedskriv ligningen for en kurve, der går gennem punktet A(x0, y0), hvis det vides, at vinkelkoefficienten for tangenten i et hvilket som helst punkt er n gange større end vinkelkoefficienten for den rette linje, der forbinder det samme punkt med oprindelse. Givet et punkt A(−6, 4) og n = 9.

Hvert problem er forsynet med en detaljeret løsning, designet i Microsoft Word 2003 ved hjælp af formeleditoren.

***

1. Løsningerne i IDS 11.2 – Mulighed 9 er velstrukturerede og forståelige.
2. Takket være beslutningerne fra Ryabushko A.P. ifølge IDZ 11.2 - Mulighed 9 var jeg i stand til hurtigt og nemt at mestre et nyt emne.
3. Løsninger af IDZ 11.2 – Mulighed 9 hjalp mig med at forbedre min viden inden for matematik.
4. IDS 11.2 – Option 9-løsninger præsenteres i et praktisk format og er let tilgængelige.
5. Jeg anbefaler at bruge Solutions by Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 11.2 - Mulighed 9 for alle, der ønsker at fuldføre opgaverne.
6. Løsningerne i IPD 11.2 – Mulighed 9 hjalp mig med at øge min tillid til min viden.
7. Afgørelser Ryabushko A.P. til IDZ 11.2 – Mulighed 9 indeholder nyttige tips og hints til løsning af problemer.
8. Tak, IDS Solutions 11.2 – Mulighed 9 hjalp mig med at klare mine lektier.
9. Jeg fandt hurtigt og nemt den information, jeg havde brug for, i Solutions by Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 11.2 – Mulighed 9.
10. Løsningerne til IDZ 11.2 – Mulighed 9 hjalp mig med bedre at forstå materialet og forberede mig til eksamen.

Ejendommeligheder:

En fremragende løsning for dem, der ønsker at bestå IDZ 11.2 - Mulighed 9.

Løsninger Ryabushko A.P. hjælpe dig med at løse opgaven hurtigt og korrekt.

Tak for sådan et nyttigt digitalt produkt!

Løsningerne er meget tilgængelige og tydeligt præsenteret.

Takket være IDZ 11.2 - Mulighed 9. Ryabushko A.P. Jeg var i stand til at få en fremragende karakter.

Super-handy format - kan bruges på en computer eller printes.

Et fremragende valg for dem, der ønsker at spare tid og nerver.

Løsninger Ryabushko A.P. hjalp mig med at forstå materialet bedre.

Tak for et så detaljeret produkt af høj kvalitet!

Jeg vil anbefale (a) IDZ 11.2 - Mulighed 9. Løsninger Ryabushko A.P. til alle elever, der ønsker at få en høj karakter.