1. Um dieses Problem zu lösen, finden wir eine allgemeine Lösung für die Differentialgleichung y´´´= cos2x. Wenn wir diese Gleichung dreimal integrieren, erhalten wir y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, wobei C1 und C2 beliebige Konstanten sind. Wenn wir den letzten Ausdruck integrieren, erhalten wir y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, wobei C3 eine weitere beliebige Konstante ist. Durch Ersetzen der Anfangsbedingungen erhalten wir ein Gleichungssystem: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Somit hat die Teillösung die Form y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Um die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung y´´ = −x/y´ zu finden, multiplizieren Sie beide Seiten mit y´ und integrieren Sie zweimal: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Bei der partiellen Integration erhalten wir y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Wenn wir diese Gleichung nach y´ auflösen, erhalten wir y´ = ±sqrt(C1 - x2) und dementsprechend y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, wobei C2 eine weitere beliebige Konstante ist . Somit ist die allgemeine Lösung y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Um das Cauchy-Problem für die Differentialgleichung y´´ = 1 − y´2 mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y´(0) = 0 zu lösen, führen wir die Substitution y´ = p(y) durch und erhalten die Gleichung p´dp/ dy = 1 - p2. Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir p = sin(y + C1), wobei C1 eine beliebige Konstante ist. Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung y´ = p(y) einsetzen, erhalten wir y´ = sin(y + C1). Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir y = -cos(y + C1) + C2, wobei C2 eine weitere beliebige Konstante ist. Durch Ersetzen der Anfangsbedingungen erhalten wir C1 = 0, C2 = 1. Somit hat die Lösung des Cauchy-Problems die Form y = 1 - cos(y).

4. Diese Differentialgleichung kann auf die Form dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)) reduziert werden, die durch die Methode der Variablentrennung gelöst werden kann. Nach einfachen algebraischen Transformationen erhalten wir: (y + x)dx + 2ydy = 0. Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir x2 + 2y2 + 2xy = C, wobei C die Integrationskonstante ist.

5. Die Gleichung der durch den Punkt A(x0, y0) verlaufenden Kurve habe die Form y = kx + b, wobei k und b Koeffizienten sind. Dann ist der Winkelkoeffizient der Tangente am Punkt (x0, y0) gleich k und der Winkelkoeffizient der geraden Linie, die Punkt A mit dem Ursprung verbindet, ist gleich y0/x0. Aus den Bedingungen des Problems folgt k = n*(y0/x0), wobei n eine gegebene Zahl ist. Somit lautet die Gleichung der Kurve y = n*(y0/x0)x + b. Wenn wir die Koordinaten von Punkt A ersetzen, erhalten wir y = 9(-4/6)*x + 10, das heißt, die Gleichung der Kurve lautet y = (-6/2)x + 10, was y = -3x + 10 entspricht.

Schreiben Sie eine Beschreibung des Produkts – ein digitales Produkt in einem digitalen Warenladen mit einem schönen HTML-Design: „IDZ 11.2 – Option 9. Lösungen von Ryabushko A.P.“

IDZ 11.2 – Option 9. Lösungen von Ryabushko A.P.

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung

Gegeben ist die Differentialgleichung y´´´= cos2x. Finden wir eine allgemeine Lösung, indem wir diese Gleichung dreimal integrieren:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

wobei C1, C2 und C3 beliebige Konstanten sind.

Ersetzen wir die Anfangsbedingungen y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, erhalten wir C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Eine bestimmte Lösung hat also die Form:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Wert der Funktion bei x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Gegeben ist die Differentialgleichung y´´ = −x/y´. Um die allgemeine Lösung zu finden, multiplizieren Sie beide Seiten mit y´ und integrieren Sie zweimal:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Bei der partiellen Integration erhalten wir:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

wobei C1 eine beliebige Konstante ist.

Wenn wir diese Gleichung nach y´ auflösen, erhalten wir:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

und dementsprechend

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

wobei C2 eine weitere beliebige Konstante ist.

Die allgemeine Lösung sieht also so aus:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Lösen Sie das Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung

Gegeben sei die Differentialgleichung y´´ = 1 − y´2 und die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y´(0) =0. Nehmen wir die Ersetzung y´ = p(y) vor und erhalten die Gleichung:

p´dp/dy = 1 - p2.

Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir:

p = sin(y + C1),

wobei C1 eine beliebige Konstante ist.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung y´ = p(y) einsetzen, erhalten wir:

y´ = sin(y + C1).

Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir:

y = -cos(y + C1) + C2,

wobei C2 eine weitere beliebige Konstante ist.

Unter Verwendung der Anfangsbedingungen y(0) = 0, y´(0) = 0 erhalten wir:

C1 = 0, C2 = 1.

Die Lösung des Cauchy-Problems hat also die Form:

y = -cos(y) + 1,

oder äquivalent:

cos(y) = 1 - y.

Die Lösung des Cauchy-Problems ist somit durch die Gleichung cos(y) = 1 - y gegeben, wobei y = y(x) die Lösung der Differentialgleichung ist, die die Anfangsbedingungen y(0) = 0 erfüllt, y´(0) = 0.

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IDZ 11.2 – Option 9. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Reihe von Lösungen für Probleme der mathematischen Analyse und Differentialgleichungen, vervollständigt vom Autor Ryabushko A.P.

Dieses Projekt enthält Lösungen für folgende Probleme:

1. Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung und berechnen Sie den Wert der resultierenden Funktion y=φ(x) bei x=x0 mit einer Genauigkeit von zwei Dezimalstellen. Die Differentialgleichung hat die Form y´´´= cos2x, die Anfangsbedingungen sind gegeben y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, es gilt zu finden eine Lösung bei x = π.

2. Finden Sie eine allgemeine Lösung für eine Differentialgleichung, die der Reihe nach reduziert werden kann. Die Gleichung lautet y´´ = −x/y´.

3. Lösen Sie das Cauchy-Problem für eine Differentialgleichung, die eine Reduktion der Ordnung zulässt. Die Gleichung hat die Form y´´ = 1 − y´2, die Anfangsbedingungen y(0) = 0, y´(0) = 0 sind gegeben.

4. Integrieren Sie die Gleichung x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Schreiben Sie die Gleichung einer Kurve auf, die durch den Punkt A(x0, y0) verläuft, wenn bekannt ist, dass der Winkelkoeffizient der Tangente an jedem Punkt n-mal größer ist als der Winkelkoeffizient der Geraden, die denselben Punkt mit dem verbindet Herkunft. Gegeben sei ein Punkt A(−6, 4) und n = 9.

Für jedes Problem gibt es eine detaillierte Lösung, die in Microsoft Word 2003 mit dem Formeleditor entworfen wurde.

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