Ryabushko A.P. IDZ 3.1 opção 6

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Nº 1.6. Dados quatro pontos A1(0;7;1); A2(2;–1;5); A3(1;6;3); A4(3;–9;8). Necessário:

a) crie uma equação para o plano A1A2A3;

b) traçar uma equação da reta A1A2;

c) traçar uma equação da reta A4M, que é perpendicular ao plano A1A2A3;

d) compor uma equação para a reta A3N, que é paralela à reta A1A2;

e) criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2;

f) calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3;

g) calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

a) Para compilar a equação do plano A1A2A3, encontramos o produto vetorial de dois vetores situados neste plano:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatriz}2 \ -8 \ 4\end{pmatriz}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatriz}1 \ -1 \ 2\end{pmatriz}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma:

$ 14x + 2 anos + 18z - 56 = $ 0

b) Para compilar a equação da reta A1A2, usamos a forma paramétrica da equação da reta:

$x = 0 + 2t = 2t$

$y = 7 - 8t$

$z = 1 + 4t$

d) Para compor a equação da reta A3N paralela à reta A1A2, utilizamos sua forma paramétrica:

$x = 1 + 2t$

$y = 6 - 7t$

$z = 3 + 2t$

e) Para compilar a equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2, encontramos um vetor que é perpendicular a esta reta:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatriz}2 \ -8 \ 4\end{pmatriz}$

Como o plano desejado é perpendicular ao vetor $\overrightarrow{A_1A_2}$, sua equação tem a forma:

$2x - 8y + 4z + d = 0$

Para determinar o coeficiente d, substituímos as coordenadas do ponto A4 na equação:

$2\cdot3 - 8\cdot(-9) + 4\cdot8 + d = 0$

$d = -14$

Assim, a equação do plano desejado tem a forma:

$ 2x - 8 anos + 4z - 14 = $ 0

c) Para compilar a equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3, encontramos o vetor que está neste plano:

$\overrightarrow{A_1A_2} = \begin{pmatriz}2 \ -8 \ 4\end{pmatriz}$

$\overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatriz}1 \ -1 \ 2\end{pmatriz}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Como a reta desejada é perpendicular ao vetor $\overrightarrow{n}$, seu vetor de direção tem a forma:

$\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix}x_A - x_M \ y_A - y_M \ z_A - z_M\end{pmatrix}$

onde o ponto M está na linha A4M. Como a reta A4M é perpendicular ao plano A1A2A3, o vetor $\overrightarrow{AM}$ deve ser paralelo ao vetor $\overrightarrow{n}$:

$\overrightarrow{AM} = t \cdot \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

Assim, a equação da reta A4M tem a forma:

$x = 3 + 14t$

$y = -9 + 2t$

$z = 8 + 18t$

f) Para calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, é necessário encontrar o produto escalar de um vetor paralelo à reta A1A4 e um vetor perpendicular ao plano A1A2A3:

$\overrightarrow{A_1A_4} = \begin{pmatriz}3 \ -16 \ 7\end{pmatriz}$

$\overrightarrow{n} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \overrightarrow{A_1A_3} = \begin{pmatrix}14 \ 2 \ 18\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{3^2 + (-16)^2 + 7^2} = \sqrt{314}$

$|\overrightarrow{n}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + 18^2} = \sqrt{380}$

Como o seno do ângulo entre os vetores é definido como a razão entre o produto escalar dos vetores e o produto de seus módulos, o seno desse ângulo é igual a:

$\sin{\alpha} = \frac{\overrightarrow{A_1A_4} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A_1A_4}| \cdot |\overrightarrow{n}|} = \frac{28}{\sqrt{314} \cdot \sqrt{380}} \aproximadamente 0,425$

g) Para calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3, é necessário encontrar o produto escalar de um vetor perpendicular ao plano A1A2A3 e situado no plano Oxy, e um vetor perpendicular ao plano Oxy e deitado no plano A1A2A3:

$\overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{A_1A_2} \times \begin{pmatrix}0 \ 0 \ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \ 2 \ 0\end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{n_1}| = 1$

$|\overrightarrow{n_2}| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = 2\sqrt{17}$

Como o cosseno do ângulo entre os vetores é

"Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 6" é um produto digital que é uma solução para uma tarefa individual de matemática compilada por A.P. Ryabushko. A solução é feita com a opção número 6 da tarefa 3.1 e é destinada ao uso de alunos e alunos que estão cursando este curso.

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Ryabushko A.P. A opção 6 do IDZ 3.1 é uma tarefa de geometria que consiste em vários pontos.

Nº 1.6. Dados quatro pontos no espaço tridimensional, é necessário criar equações para o plano e as retas que passam por esses pontos, bem como calcular o seno e o cosseno dos ângulos entre alguns deles.

Nº 2.6. É necessário criar uma equação para um plano que passa por dois pontos dados e é paralelo ao eixo de coordenadas selecionado.

Não. 3.6. É necessário encontrar o valor do parâmetro no qual as linhas fornecidas serão paralelas.

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