1. For å løse dette problemet, la oss finne en generell løsning på differensialligningen y´´´= cos2x. Ved å integrere denne ligningen tre ganger får vi y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, hvor C1 og C2 er vilkårlige konstanter. Ved å integrere det siste uttrykket får vi y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, hvor C3 er en annen vilkårlig konstant. Ved å erstatte startbetingelsene får vi et ligningssystem: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Dermed har den partielle løsningen formen y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. For å finne den generelle løsningen til denne differensialligningen y´´ = −x/y´, multipliser begge sider med y´ og integrer to ganger: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Ved integrering med deler får vi y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, hvor C1 er en vilkårlig konstant. Ved å løse denne ligningen for y´ får vi y´ = ±sqrt(C1 - x2) og følgelig y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, hvor C2 er en annen vilkårlig konstant . Dermed er den generelle løsningen y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. For å løse Cauchy-problemet for differensialligningen y´´ = 1 − y´2 med startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 0, gjør vi substitusjonen y´ = p(y) og oppnår ligningen p´dp/ dy = 1 - p2. Ved å integrere denne ligningen får vi p = sin(y + C1), hvor C1 er en vilkårlig konstant. Ved å erstatte dette uttrykket i ligningen y´ = p(y), får vi y´ = sin(y + C1). Ved å integrere denne ligningen får vi y = -cos(y + C1) + C2, hvor C2 er en annen vilkårlig konstant. Ved å erstatte startbetingelsene får vi C1 = 0, C2 = 1. Dermed har løsningen på Cauchy-problemet formen y = 1 - cos(y).

4. Denne differensialligningen kan reduseres til formen dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), som kan løses ved separasjonsmetoden for variabler. Etter enkle algebraiske transformasjoner får vi: (y + x)dx + 2ydy = 0. Ved å integrere denne ligningen får vi x2 + 2y2 + 2xy = C, hvor C er integrasjonskonstanten.

5. La ligningen til kurven som går gjennom punktet A(x0, y0) ha formen y = kx + b, hvor k og b er koeffisienter. Da er vinkelkoeffisienten til tangenten i punktet (x0, y0) lik k, og vinkelkoeffisienten til den rette linjen som forbinder punktet A med origo er lik y0/x0. Av betingelsene for oppgaven følger det at k = n*(y0/x0), hvor n er et gitt tall. Dermed er ligningen til kurven y = n*(y0/x0)x + b. Ved å erstatte koordinatene til punkt A får vi y = 9(-4/6)*x + 10, det vil si at ligningen til kurven er y = (-6/2)x + 10, som tilsvarer y = -3x + 10.

Skriv en beskrivelse av produktet - et digitalt produkt i en digitalvarebutikk med vakkert html-design: "IDZ 11.2 - Alternativ 9. Løsninger av Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Alternativ 9. Løsninger til Ryabushko A.P.

1. Finn en spesiell løsning på differensialligningen

Differensialligningen y´´´= cos2x er gitt. La oss finne en generell løsning ved å integrere denne ligningen tre ganger:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

hvor C1, C2 og C3 er vilkårlige konstanter.

Ved å erstatte startbetingelsene y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, får vi C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Derfor har en bestemt løsning formen:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Verdi av funksjonen ved x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Finn den generelle løsningen på differensialligningen

Differensialligningen y´´ = −x/y´ er gitt. For å finne den generelle løsningen, multipliser begge sider med y´ og integrer to ganger:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Ved integrering etter deler får vi:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

hvor C1 er en vilkårlig konstant.

Når vi løser denne ligningen for y´, får vi:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

og følgelig

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

hvor C2 er en annen vilkårlig konstant.

Den generelle løsningen ser derfor slik ut:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Løs Cauchy-problemet for en differensialligning

Gi differensialligningen y´´ = 1 − y´2 og startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) =0. La oss erstatte y´ = p(y) og få ligningen:

p´dp/dy = 1 - p2.

Ved å integrere denne ligningen får vi:

p = sin(y + C1),

hvor C1 er en vilkårlig konstant.

Hvis vi erstatter dette uttrykket i ligningen y´ = p(y), får vi:

y´ = sin(y + C1).

Ved å integrere denne ligningen får vi:

y = -cos(y + C1) + C2,

hvor C2 er en annen vilkårlig konstant.

Ved å bruke startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 0, får vi:

C1 = 0, C2 = 1.

Dermed har løsningen på Cauchy-problemet formen:

y = -cos(y) + 1,

eller tilsvarende

cos(y) = 1 - y.

Dermed er løsningen på Cauchy-problemet gitt av ligningen cos(y) = 1 - y, hvor y = y(x) er løsningen på differensialligningen som tilfredsstiller startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Alternativ 9. Løsninger Ryabushko A.P. er et sett med løsninger på problemer i matematisk analyse og differensialligninger, fullført av forfatteren Ryabushko A.P.

Dette prosjektet inneholder løsninger på følgende problemer:

1. Finn en spesiell løsning på differensialligningen og beregn verdien av den resulterende funksjonen y=φ(x) ved x=x0 nøyaktig med to desimaler. Differensialligningen har formen y´´´= cos2x, startbetingelsene er gitt y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, det er nødvendig å finne en løsning ved x = π.

2. Finn en generell løsning på en differensialligning som kan reduseres i rekkefølge. Ligningen er y´´ = −x/y´.

3. Løs Cauchy-problemet for en differensialligning som tillater en reduksjon i rekkefølge. Ligningen har formen y´´ = 1 − y´2, startbetingelsene y(0) = 0, y´(0) = 0 er gitt.

4. Integrer ligningen x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Skriv ned ligningen til en kurve som går gjennom punktet A(x0, y0), hvis det er kjent at vinkelkoeffisienten til tangenten på et hvilket som helst punkt er n ganger større enn vinkelkoeffisienten til den rette linjen som forbinder det samme punktet med opprinnelse. Gitt et punkt A(−6, 4) og n = 9.

Hvert problem er utstyrt med en detaljert løsning, designet i Microsoft Word 2003 ved hjelp av formelredigeringsprogrammet.

***

1. Løsningene til IDS 11.2 – Alternativ 9 er godt strukturerte og forståelige.
2. Takket være avgjørelsene til Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 11.2 - Alternativ 9, klarte jeg raskt og enkelt å mestre et nytt emne.
3. Løsninger av IDZ 11.2 – Alternativ 9 hjalp meg med å forbedre kunnskapen min i matematikk.
4. IDS 11.2 – Alternativ 9-løsninger presenteres i et praktisk format og er lett tilgjengelige.
5. Jeg anbefaler å bruke Solutions by Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 11.2 - Alternativ 9 for alle som ønsker å fullføre oppgavene.
6. Løsningene til IPD 11.2 – Alternativ 9 hjalp meg med å øke tilliten til min kunnskap.
7. Avgjørelser Ryabushko A.P. for IDZ 11.2 – Alternativ 9 inneholder nyttige tips og hint for å løse problemer.
8. Takk, IDS Solutions 11.2 – Alternativ 9 hjalp meg med å takle leksene mine.
9. Jeg fant raskt og enkelt informasjonen jeg trengte i Solutions by Ryabushko A.P. i henhold til IDZ 11.2 – Alternativ 9.
10. Løsningene til IDZ 11.2 – Alternativ 9 hjalp meg bedre å forstå materialet og forberede meg til eksamen.

Egendommer:

En utmerket løsning for de som ønsker å bestå IDZ 11.2 - Alternativ 9.

Løsninger Ryabushko A.P. hjelpe deg med å fullføre oppgaven raskt og riktig.

Takk for et så nyttig digitalt produkt!

Løsningene er svært tilgjengelige og tydelige.

Takket være IDZ 11.2 - Alternativ 9. Ryabushko A.P. Jeg klarte å få en utmerket karakter.

Superhendig format - kan brukes på datamaskin eller skrives ut.

Et utmerket valg for de som ønsker å spare tid og nerver.

Løsninger Ryabushko A.P. hjalp meg å forstå materialet bedre.

Takk for et så detaljert produkt av høy kvalitet!

Jeg vil anbefale (a) IDZ 11.2 - Alternativ 9. Løsninger Ryabushko A.P. til alle elever som ønsker å få høy karakter.