1. Om dit probleem op te lossen, gaan we een algemene oplossing vinden voor de differentiaalvergelijking y´´´= cos2x. Door deze vergelijking driemaal te integreren, verkrijgen we y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, waarbij C1 en C2 willekeurige constanten zijn. Als we de laatste uitdrukking integreren, krijgen we y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, waarbij C3 een andere willekeurige constante is. Door de beginvoorwaarden te vervangen, verkrijgen we een systeem van vergelijkingen: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. De deeloplossing heeft dus de vorm y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Om de algemene oplossing voor deze differentiaalvergelijking y´´ = −x/y´ te vinden, vermenigvuldigt u beide zijden met y´ en integreert u tweemaal: y´´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Bij gedeeltelijke integratie verkrijgen we y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, waarbij C1 een willekeurige constante is. Als we deze vergelijking voor y´ oplossen, verkrijgen we y´ = ±sqrt(C1 - x2) en dienovereenkomstig y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, waarbij C2 een andere willekeurige constante is . De algemene oplossing is dus y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Om het Cauchy-probleem voor de differentiaalvergelijking y´´ = 1 − y´2 met de beginvoorwaarden y(0) = 0, y´(0) = 0 op te lossen, maken we de substitutie y´ = p(y) en verkrijgen we de vergelijking p´dp/dy = 1 - p2. Door deze vergelijking te integreren, verkrijgen we p = sin(y + C1), waarbij C1 een willekeurige constante is. Als we deze uitdrukking vervangen door de vergelijking y´ = p(y), verkrijgen we y´ = sin(y + C1). Als we deze vergelijking integreren, krijgen we y = -cos(y + C1) + C2, waarbij C2 een andere willekeurige constante is. Door de beginvoorwaarden te vervangen, verkrijgen we C1 = 0, C2 = 1. De oplossing voor het Cauchy-probleem heeft dus de vorm y = 1 - cos(y).

4. Deze differentiaalvergelijking kan worden teruggebracht tot de vorm dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), die kan worden opgelost door de methode van de scheiding van variabelen. Na eenvoudige algebraïsche transformaties verkrijgen we: (y + x)dx + 2ydy = 0. Door deze vergelijking te integreren, verkrijgen we x2 + 2y2 + 2xy = C, waarbij C de integratieconstante is.

5. Laat de vergelijking van de curve die door het punt A(x0, y0) gaat de vorm y = kx + b hebben, waarbij k en b coëfficiënten zijn. Dan is de hoekcoëfficiënt van de raaklijn in het punt (x0, y0) gelijk aan k, en de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn die punt A met de oorsprong verbindt, is gelijk aan y0/x0. Uit de voorwaarden van het probleem volgt dat k = n*(y0/x0), waarbij n een gegeven getal is. De vergelijking van de curve is dus y = n*(y0/x0)x + b. Als we de coördinaten van punt A vervangen, krijgen we y = 9(-4/6)*x + 10, dat wil zeggen dat de vergelijking van de curve y = (-6/2)x + 10 is, wat equivalent is aan y = -3x + 10.

Schrijf een beschrijving van het product - een digitaal product in een digitale goederenwinkel met een prachtig html-ontwerp: "IDZ 11.2 - Optie 9. Oplossingen door Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Optie 9. Oplossingen van Ryabushko A.P.

1. Zoek een specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking

De differentiaalvergelijking y´´´= cos2x wordt gegeven. Laten we een algemene oplossing vinden door deze vergelijking drie keer te integreren:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

waarbij C1, C2 en C3 willekeurige constanten zijn.

Door de beginvoorwaarden y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0 te vervangen, verkrijgen we C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Een bepaalde oplossing heeft dus de vorm:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Waarde van de functie bij x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Vind de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking

De differentiaalvergelijking y´´ = −x/y´ wordt gegeven. Om de algemene oplossing te vinden, vermenigvuldigt u beide zijden met y´ en integreert u tweemaal:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Bij gedeeltelijke integratie krijgen we:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

waarbij C1 een willekeurige constante is.

Als we deze vergelijking voor y´ oplossen, krijgen we:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

en dienovereenkomstig

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

waarbij C2 een andere willekeurige constante is.

De algemene oplossing ziet er dus als volgt uit:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Los het Cauchy-probleem op voor een differentiaalvergelijking

Gegeven de differentiaalvergelijking y´´ = 1 − y´2 en de beginvoorwaarden y(0) = 0, is y´(0) =0. Laten we de vervanging y´ = p(y) maken en de vergelijking verkrijgen:

p´dp/dy = 1 - p2.

Als we deze vergelijking integreren, krijgen we:

p = sin(y + C1),

waarbij C1 een willekeurige constante is.

Als we deze uitdrukking vervangen door de vergelijking y´ = p(y), krijgen we:

y´ = sin(y + C1).

Als we deze vergelijking integreren, krijgen we:

y = -cos(y + C1) + C2,

waarbij C2 een andere willekeurige constante is.

Als we de beginvoorwaarden y(0) = 0, y´(0) = 0 gebruiken, verkrijgen we:

C1 = 0, C2 = 1.

De oplossing voor het Cauchy-probleem heeft dus de vorm:

y = -cos(y) + 1,

of, gelijkwaardig,

cos(y) = 1 - y.

De oplossing voor het Cauchy-probleem wordt dus gegeven door de vergelijking cos(y) = 1 - y, waarbij y = y(x) de oplossing is van de differentiaalvergelijking die voldoet aan de beginvoorwaarden y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Optie 9. Oplossingen Ryabushko A.P. is een reeks oplossingen voor problemen in wiskundige analyse en differentiaalvergelijkingen, aangevuld door de auteur Ryabushko A.P.

Dit project bevat oplossingen voor de volgende problemen:

1. Zoek een specifieke oplossing voor de differentiaalvergelijking en bereken de waarde van de resulterende functie y=φ(x) bij x=x0, nauwkeurig tot op twee decimalen. De differentiaalvergelijking heeft de vorm y´´´= cos2x, de beginvoorwaarden zijn gegeven y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, er moet worden gevonden een oplossing bij x = π.

2. Zoek een algemene oplossing voor een differentiaalvergelijking die in de juiste volgorde kan worden gereduceerd. De vergelijking is y´´ = −x/y´.

3. Los het Cauchy-probleem op voor een differentiaalvergelijking die een reductie in de volgorde toestaat. De vergelijking heeft de vorm y´´ = 1 − y´2, de beginvoorwaarden y(0) = 0, y´(0) = 0 zijn gegeven.

4. Integreer de vergelijking x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Schrijf de vergelijking op van een kromme die door het punt A(x0, y0) gaat, als bekend is dat de hoekcoëfficiënt van de raaklijn op enig punt n maal groter is dan de hoekcoëfficiënt van de rechte lijn die hetzelfde punt verbindt met de oorsprong. Gegeven een punt A(−6, 4) en n = 9.

Elk probleem wordt voorzien van een gedetailleerde oplossing, ontworpen in Microsoft Word 2003 met behulp van de formule-editor.

***

1. De oplossingen van IDS 11.2 – Optie 9 zijn goed gestructureerd en begrijpelijk.
2. Dankzij de beslissingen van Ryabushko A.P. volgens IDZ 11.2 - Optie 9 kon ik een nieuw onderwerp snel en gemakkelijk onder de knie krijgen.
3. Oplossingen van IDZ 11.2 – Optie 9 hebben me geholpen mijn kennis in de wiskunde te verbeteren.
4. IDS 11.2 – Optie 9-oplossingen worden gepresenteerd in een handig formaat en zijn gemakkelijk toegankelijk.
5. Ik raad aan om Solutions van Ryabushko A.P. volgens IDZ 11.2 - Optie 9 voor iedereen die de taken succesvol wil voltooien.
6. De oplossingen van IPD 11.2 – Optie 9 hebben mij geholpen mijn vertrouwen in mijn kennis te vergroten.
7. Beslissingen Ryabuschko A.P. voor IDZ 11.2 – Optie 9 bevatten nuttige tips en hints voor het oplossen van problemen.
8. Bedankt, IDS Solutions 11.2 – Optie 9 heeft me geholpen met mijn huiswerk.
9. Ik vond snel en gemakkelijk de informatie die ik nodig had in Solutions by Ryabushko A.P. volgens IDZ 11.2 – Optie 9.
10. De oplossingen voor IDZ 11.2 – Optie 9 hebben mij geholpen de stof beter te begrijpen en me voor te bereiden op het examen.

Eigenaardigheden:

Een uitstekende oplossing voor diegenen die succesvol willen slagen voor de IDZ 11.2 - Optie 9.

Oplossingen Ryabushko A.P. helpen u de taak snel en correct uit te voeren.

Bedankt voor zo'n handig digitaal product!

Oplossingen zijn zeer toegankelijk en duidelijk vermeld.

Dankzij IDZ 11.2 - Optie 9. Ryabushko A.P. Ik heb een uitstekend cijfer kunnen halen.

Superhandig formaat - kan op een computer worden gebruikt of worden afgedrukt.

Een uitstekende keuze voor diegenen die tijd en zenuwen willen besparen.

Oplossingen Ryabushko A.P. hielp me de stof beter te begrijpen.

Bedankt voor zo'n gedetailleerd en kwalitatief hoogstaand product!

Ik zou aanraden (a) IDZ 11.2 - Optie 9. Oplossingen Ryabushko A.P. aan alle leerlingen die een hoog cijfer willen halen.