1. Pour résoudre ce problème, trouvons une solution générale à l'équation différentielle y´´´= cos2x. En intégrant cette équation trois fois, nous obtenons y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, où C1 et C2 sont des constantes arbitraires. En intégrant la dernière expression, nous obtenons y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, où C3 est une autre constante arbitraire. En substituant les conditions initiales, on obtient un système d'équations : C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Ainsi, la solution partielle a la forme y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. Pour trouver la solution générale de cette équation différentielle y´´ = −x/y´, multipliez les deux côtés par y´ et intégrez deux fois : y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ 'dy' - y'dy'' = xdy. Lors de l'intégration par parties, nous obtenons y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, où C1 est une constante arbitraire. En résolvant cette équation pour y´, nous obtenons y´ = ±sqrt(C1 - x2) et, par conséquent, y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, où C2 est une autre constante arbitraire . Ainsi, la solution générale est y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Pour résoudre le problème de Cauchy pour l'équation différentielle y´´ = 1 − y´2 avec les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 0, nous effectuons la substitution y´ = p(y) et obtenons l'équation p´dp/ dy = 1 - p2. En intégrant cette équation, on obtient p = sin(y + C1), où C1 est une constante arbitraire. En substituant cette expression dans l'équation y´ = p(y), nous obtenons y´ = sin(y + C1). En intégrant cette équation, nous obtenons y = -cos(y + C1) + C2, où C2 est une autre constante arbitraire. En substituant les conditions initiales, nous obtenons C1 = 0, C2 = 1. Ainsi, la solution du problème de Cauchy a la forme y = 1 - cos(y).

4. Cette équation différentielle peut être réduite à la forme dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), qui peut être résolue par la méthode de séparation des variables. Après transformations algébriques simples, on obtient : (y + x)dx + 2ydy = 0. En intégrant cette équation, on obtient x2 + 2y2 + 2xy = C, où C est la constante d'intégration.

5. Soit l'équation de la courbe passant par le point A(x0, y0) de la forme y = kx + b, où k et b sont des coefficients. Alors le coefficient angulaire de la tangente au point (x0, y0) est égal à k, et le coefficient angulaire de la droite reliant le point A à l'origine est égal à y0/x0. Des conditions du problème, il s’ensuit que k = n*(y0/x0), où n est un nombre donné. Ainsi, l’équation de la courbe est y = n*(y0/x0)x + b. En substituant les coordonnées du point A, on obtient y = 9(-4/6)*x + 10, c'est-à-dire que l'équation de la courbe est y = (-6/2)x + 10, ce qui équivaut à y = -3x + 10.

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IDZ 11.2 – Option 9. Solutions de Ryabushko A.P.

1. Trouver une solution particulière à l'équation différentielle

L'équation différentielle y´´´= cos2x est donnée. Trouvons une solution générale en intégrant cette équation trois fois :

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

où C1, C2 et C3 sont des constantes arbitraires.

En remplaçant les conditions initiales y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, nous obtenons C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Ainsi, une solution particulière a la forme :

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Valeur de la fonction à x=π :

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

L'équation différentielle y´´ = −x/y´ est donnée. Pour trouver la solution générale, multipliez les deux côtés par y´ et intégrez deux fois :

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

Lors de l'intégration par parties, nous obtenons :

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

où C1 est une constante arbitraire.

En résolvant cette équation pour y´, nous obtenons :

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

et, en conséquence,

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

où C2 est une autre constante arbitraire.

Ainsi, la solution générale ressemble à :

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Résoudre le problème de Cauchy pour une équation différentielle

Étant donné l'équation différentielle y´´ = 1 − y´2 et les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) =0. Faisons le remplacement y´ = p(y) et obtenons l'équation :

p´dp/dy = 1 - p2.

En intégrant cette équation, nous obtenons :

p = sin(y + C1),

où C1 est une constante arbitraire.

En remplaçant cette expression dans l'équation y´ = p(y), nous obtenons :

y´ = sin(y + C1).

En intégrant cette équation, nous obtenons :

y = -cos(y + C1) + C2,

où C2 est une autre constante arbitraire.

En utilisant les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 0, on obtient :

C1 = 0, C2 = 1.

Ainsi, la solution du problème de Cauchy a la forme :

y = -cos(y) + 1,

ou, de manière équivalente,

cos(y) = 1 - y.

Ainsi, la solution du problème de Cauchy est donnée par l'équation cos(y) = 1 - y, où y = y(x) est la solution de l'équation différentielle satisfaisant les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 0.

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IDZ 11.2 – Option 9. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions à des problèmes d'analyse mathématique et d'équations différentielles, complété par l'auteur Ryabushko A.P.

Ce projet contient des solutions aux problèmes suivants :

1. Trouvez une solution particulière à l'équation différentielle et calculez la valeur de la fonction résultante y=φ(x) à x=x0 avec une précision de deux décimales. L'équation différentielle a la forme y´´´= cos2x, les conditions initiales sont données y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, il faut trouver une solution à x = π.

2. Trouver une solution générale à une équation différentielle qui peut être réduite dans l'ordre. L'équation est y´´ = −x/y´.

3. Résolvez le problème de Cauchy pour une équation différentielle qui admet une réduction d'ordre. L'équation a la forme y´´ = 1 − y´2, les conditions initiales y(0) = 0, y´(0) = 0 sont données.

4. Intégrez l’équation x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Écrivez l'équation d'une courbe passant par le point A(x0, y0), si l'on sait que le coefficient angulaire de la tangente en tout point est n fois supérieur au coefficient angulaire de la droite reliant le même point au origine. Étant donné un point A(−6, 4) et n = 9.

Chaque problème est accompagné d'une solution détaillée, conçue dans Microsoft Word 2003 à l'aide de l'éditeur de formules.

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1. Les solutions de l'IDS 11.2 – Option 9 sont bien structurées et compréhensibles.
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