1. A probléma megoldásához keressünk általános megoldást az y´´´= cos2x differenciálegyenletre. Ezt az egyenletet háromszor integrálva y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2 kapjuk, ahol C1 és C2 tetszőleges állandók. Az utolsó kifejezést integrálva y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3 kapjuk, ahol C3 egy másik tetszőleges állandó. A kezdeti feltételeket behelyettesítve egy egyenletrendszert kapunk: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Így a parciális megoldás y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64) alakú.

2. Az y´´ = −x/y´ differenciálegyenlet általános megoldásának megtalálásához szorozzuk meg mindkét oldalt y´-vel, és integráljuk kétszer: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. Részekkel integrálva y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1-et kapunk, ahol C1 tetszőleges állandó. Ezt az egyenletet y´-re megoldva y´ = ±sqrt(C1 - x2) és ennek megfelelően y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, ahol C2 egy másik tetszőleges állandó . Így az általános megoldás: y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. A Cauchy-probléma megoldásához az y´´ = 1 − y´2 differenciálegyenletre y(0) = 0, y´(0) = 0 kezdeti feltételek mellett végrehajtjuk az y´ = p(y) behelyettesítést, és megkapjuk a p´dp/dy = 1 - p2 egyenlet. Ezt az egyenletet integrálva p = sin(y + C1) kapjuk, ahol C1 tetszőleges állandó. Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az y´ = p(y) egyenletbe, azt kapjuk, hogy y´ = sin(y + C1). Ezt az egyenletet integrálva y = -cos(y + C1) + C2-t kapunk, ahol C2 egy másik tetszőleges állandó. A kezdeti feltételeket behelyettesítve C1 = 0, C2 = 1. Így a Cauchy-probléma megoldása y = 1 - cos(y) alakú.

4. Ez a differenciálegyenlet a dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)) alakra redukálható, amely a változók szétválasztási módszerével oldható meg. Egyszerű algebrai transzformációk után a következőt kapjuk: (y + x)dx + 2ydy = 0. Ezt az egyenletet integrálva x2 + 2y2 + 2xy = C-t kapunk, ahol C az integráció állandója.

5. Legyen az A(x0, y0) ponton átmenő görbe egyenlete y = kx + b alakú, ahol k és b együtthatók. Ekkor az (x0, y0) pontban lévő érintő szögegyütthatója egyenlő k-val, az A pontot az origóval összekötő egyenes szögegyütthatója pedig y0/x0. A feladat feltételeiből az következik, hogy k = n*(y0/x0), ahol n egy adott szám. Így a görbe egyenlete y = n*(y0/x0)x + b. Az A pont koordinátáit behelyettesítve y = 9-et kapunk(-4/6)*x + 10, vagyis a görbe egyenlete y = (-6/2)x + 10, ami ekvivalens y = -3x + 10-zel.

Írja meg a termék leírását - egy digitális termék egy digitális árucikk boltjában, gyönyörű html dizájnnal: "IDZ 11.2 - Option 9. Solutions by Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – 9. lehetőség. A Ryabushko A.P. megoldásai

1. Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenlet

re

A y´´´= cos2x differenciálegyenlet adott. Keressünk egy általános megoldást az egyenlet háromszori integrálásával:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

ahol C1, C2 és C3 tetszőleges állandók.

Az y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0 kezdeti feltételeket behelyettesítve C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Így egy adott megoldás a következő formában van:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

A függvény értéke x=π:

-nél

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Keresse meg a differenciálegyenlet

általános megoldását

Az y´´ = −x/y´ differenciálegyenlet adott. Az általános megoldás megtalálásához szorozza meg mindkét oldalt y'-val, és integrálja kétszer:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

A részenkénti integráció során a következőket kapjuk:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

ahol C1 tetszőleges állandó.

Ezt az egyenletet y'-re megoldva a következőket kapjuk:

y´ = ± sqrt(C1 - x2)

és ennek megfelelően

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

ahol C2 egy másik tetszőleges állandó.

Így az általános megoldás így néz ki:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Oldja meg a Cauchy-feladatot egy differenciálegyenlet

re

Adott az y´´ = 1 − y´2 differenciálegyenlet és az y(0) = 0 kezdeti feltételek, y´(0) =0. Tegyük fel az y´ = p(y) cserét, és kapjuk meg az egyenletet:

p´dp/dy = 1 - p2.

Ezt az egyenletet integrálva a következőket kapjuk:

p = sin(y + C1),

ahol C1 tetszőleges állandó.

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az y´ = p(y) egyenletbe, a következőket kapjuk:

y´ = sin(y + C1).

Ezt az egyenletet integrálva a következőket kapjuk:

y = -cos(y + C1) + C2,

ahol C2 egy másik tetszőleges állandó.

Az y(0) = 0, y´(0) = 0 kezdeti feltételekkel a következőket kapjuk:

C1 = 0, C2 = 1.

Így a Cauchy-probléma megoldása a következő formában jelenik meg:

y = -cos(y) + 1,

vagy ennek megfelelően

cos(y) = 1 - y.

Így a Cauchy-probléma megoldását a cos(y) = 1 - y egyenlet adja, ahol y = y(x) az y(0) = 0 kezdeti feltételeket kielégítő differenciálegyenlet megoldása, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – 9. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P. a matematikai analízis és a differenciálegyenletek problémáinak megoldási sorozata, amelyet a szerző, Ryabushko A.P.

Ez a projekt a következő problémákra kínál megoldásokat:

1. Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, és számítsa ki az eredményül kapott y=φ(x) függvény értékét x=x0-nál két tizedesjegy pontossággal. A differenciálegyenlet alakja y´´´= cos2x, a kezdeti feltételek y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, meg kell találni megoldás x = π-nél.

2. Keressen általános megoldást egy differenciálegyenletre, amely sorrendben redukálható! Az egyenlet: y´´ = −x/y´.

3. Oldja meg a Cauchy-feladatot egy olyan differenciálegyenletre, amely sorrendben enged redukciót. Az egyenlet alakja y´´ = 1 − y´2, a kezdeti feltételek y(0) = 0, y´(0) = 0 adottak.

4. Integrálja az x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0 egyenletet.

5. Írja fel az A(x0, y0) ponton átmenő görbe egyenletét, ha ismert, hogy az érintő szögegyütthatója bármely pontban n-szer nagyobb, mint az ugyanazt a pontot összekötő egyenes szögegyütthatója eredet. Adott egy A(−6, 4) pont és n = 9.

Minden problémához részletes megoldás tartozik, amelyet a Microsoft Word 2003-ban terveztek meg a képletszerkesztő segítségével.

***

1. Az IDS 11.2 – 9. opció megoldásai jól felépítettek és érthetőek.
2. A Ryabushko A.P. döntéseinek köszönhetően az IDZ 11.2 - 9. lehetőség szerint gyorsan és egyszerűen elsajátíthattam egy új témát.
3. Az IDZ 11.2 megoldásai – A 9. lehetőség segített fejleszteni matematikai ismereteimet.
4. IDS 11.2 – Az Option 9 megoldásai kényelmes formátumban és könnyen hozzáférhetők.
5. Azt javaslom, hogy használja a Solutions by Ryabushko A.P. IDZ 11.2 szerint - 9. lehetőség mindenkinek, aki sikeresen szeretné teljesíteni a feladatokat.
6. Az IPD 11.2 – 9. lehetőség megoldásai segítettek növelni a tudásomba vetett bizalmamat.
7. Határozatok Ryabushko A.P. IDZ 11.2-hez – A 9. opció hasznos tippeket és tippeket tartalmaz a problémák megoldásához.
8. Köszönöm, az IDS Solutions 11.2 – 9. lehetőség segített megbirkózni a házi feladatommal.
9. Gyorsan és egyszerűen megtaláltam a szükséges információkat a Ryabushko A.P. megoldásaiban. az IDZ 11.2 szerint – 9. lehetőség.
10. Az IDZ 11.2 – 9. lehetőség megoldásai segítettek jobban megérteni az anyagot és felkészülni a vizsgára.

Sajátosságok:

Kiváló megoldás azok számára, akik sikeresen szeretnék teljesíteni az IDZ 11.2 - 9. opciót.

Megoldások Ryabushko A.P. segít a feladat gyors és helyes elvégzésében.

Köszönjük ezt a hasznos digitális terméket!

A megoldások nagyon hozzáférhetőek és világosan bemutathatók.

Köszönet az IDZ 11.2-nek – 9. opció. Ryabushko A.P. Kiváló osztályzatot tudtam elérni.

Szuper praktikus formátum - használható számítógépen vagy nyomtatható.

Kiváló választás azoknak, akik időt és idegeket szeretnének spórolni.

Megoldások Ryabushko A.P. segített jobban megérteni az anyagot.

Köszönöm a részletes és minőségi terméket!

Javaslom (a) IDZ 11.2 - 9. lehetőség. Megoldások Ryabushko A.P. minden diáknak, aki magas osztályzatot szeretne szerezni.