1. För att lösa detta problem, låt oss hitta en generell lösning på differentialekvationen y´´´= cos2x. Genom att integrera denna ekvation tre gånger får vi y´´= (1/2)sin2x + C1, y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2, där C1 och C2 är godtyckliga konstanter. Genom att integrera det sista uttrycket får vi y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3, där C3 är en annan godtycklig konstant. Genom att ersätta initialvillkoren får vi ett ekvationssystem: C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/64. Den partiella lösningen har således formen y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64).

2. För att hitta den allmänna lösningen till denna differentialekvation y´´ = −x/y´, multiplicera båda sidor med y´ och integrera två gånger: y´dy´´ = -xdy´, y´´dy´ = -xdy, y´ ´dy ´ - y´dy´´ = xdy. När vi integrerar med delar får vi y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1, där C1 är en godtycklig konstant. När vi löser denna ekvation för y´ får vi y´ = ±sqrt(C1 - x2) och följaktligen y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2, där C2 är en annan godtycklig konstant . Den allmänna lösningen är alltså y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. För att lösa Cauchy-problemet för differentialekvationen y´´ = 1 − y´2 med initialvillkoren y(0) = 0, y´(0) = 0, gör vi substitutionen y´ = p(y) och erhåller ekvationen p´dp/ dy = 1 - p2. Genom att integrera denna ekvation får vi p = sin(y + C1), där C1 är en godtycklig konstant. Genom att ersätta detta uttryck i ekvationen y´ = p(y), får vi y´ = sin(y + C1). Genom att integrera denna ekvation får vi y = -cos(y + C1) + C2, där C2 är en annan godtycklig konstant. Genom att ersätta initialvillkoren får vi C1 = 0, C2 = 1. Lösningen på Cauchy-problemet har alltså formen y = 1 - cos(y).

4. Denna differentialekvation kan reduceras till formen dx/dy = -(x2 + 2y2)/(xy(x + 2y)), vilket kan lösas genom separationsmetoden för variabler. Efter enkla algebraiska transformationer får vi: (y + x)dx + 2ydy = 0. Genom att integrera denna ekvation får vi x2 + 2y2 + 2xy = C, där C är integrationskonstanten.

5. Låt ekvationen för kurvan som går genom punkten A(x0, y0) ha formen y = kx + b, där k och b är koefficienter. Då är vinkelkoefficienten för tangenten vid punkten (x0, y0) lika med k, och vinkelkoefficienten för den räta linjen som förbinder punkt A med origo är lika med y0/x0. Av villkoren för problemet följer att k = n*(y0/x0), där n är ett givet tal. Således är ekvationen för kurvan y = n*(y0/x0)x + b. Genom att ersätta koordinaterna för punkt A får vi y = 9(-4/6)*x + 10, det vill säga kurvans ekvation är y = (-6/2)x + 10, vilket motsvarar y = -3x + 10.

Skriv en beskrivning av produkten - en digital produkt i en digital varubutik med en vacker html-design: "IDZ 11.2 - Alternativ 9. Solutions by Ryabushko A.P."

IDZ 11.2 – Alternativ 9. Lösningar för Ryabushko A.P.

1. Hitta en speciell lösning på differentialekvationen

Differentialekvationen y´´´= cos2x ges. Låt oss hitta en generell lösning genom att integrera denna ekvation tre gånger:

y´´= (1/2)sin2x + C1,

y´= -(1/4)cos2x + C1x + C2,

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + C1x2 + C2x + C3,

där C1, C2 och C3 är godtyckliga konstanter.

Genom att ersätta initialvillkoren y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, får vi C1 = 0, C2 = 1/8, C3 = 23/ 64.

Därför har en viss lösning formen:

y= (1/8)sin2x - (1/4)xsin2x - (1/8)cos2x + (23/64)

Funktionens värde vid x=π:

y(π) = (1/8)sin2π - (1/4)πsin2π - (1/8)cos2π + (23/64) ≈ 0,17

2. Hitta den allmänna lösningen till differentialekvationen

Differentialekvationen y´´ = −x/y´ ges. För att hitta den allmänna lösningen, multiplicera båda sidor med y´ och integrera två gånger:

y´dy´´ = -xdy´,

y´´dy´ = -xdy,

y´´dy´ - y´dy´´ = xdy.

När vi integrerar med delar får vi:

y´´y´ - (y´)2/2 = -(x2/2) + C1,

där C1 är en godtycklig konstant.

När vi löser denna ekvation för y´ får vi:

y´ = ±sqrt(C1 - x2)

och följaktligen

y = ±(1/2)int(sqrt(C1 - x2)dx) + C2,

där C2 är en annan godtycklig konstant.

Den allmänna lösningen ser alltså ut så här:

y = ±(1/2)(sin^(-1)x + xsqrt(1 - x2)) + C2.

3. Lös Cauchy-problemet för en differentialekvation

Ges differentialekvationen y´´ = 1 − y´2 och initialvillkoren y(0) = 0, y´(0) =0. Låt oss byta ut y´ = p(y) och få ekvationen:

p´dp/dy = 1 - p2.

Om vi ​​integrerar denna ekvation får vi:

p = sin(y + C1),

där C1 är en godtycklig konstant.

Genom att ersätta detta uttryck i ekvationen y´ = p(y), får vi:

y´ = sin(y + C1).

Om vi ​​integrerar denna ekvation får vi:

y = -cos(y + C1) + C2,

där C2 är en annan godtycklig konstant.

Med de initiala villkoren y(0) = 0, y´(0) = 0, får vi:

C1 = 0, C2 = 1.

Lösningen på Cauchy-problemet har alltså formen:

y = -cos(y) + 1,

eller på motsvarande sätt

cos(y) = 1 - y.

Lösningen på Cauchy-problemet ges alltså av ekvationen cos(y) = 1 - y, där y = y(x) är lösningen på differentialekvationen som uppfyller initialvillkoren y(0) = 0, y´(0) = 0.

***

IDZ 11.2 – Alternativ 9. Lösningar Ryabushko A.P. är en uppsättning lösningar på problem inom matematisk analys och differentialekvationer, färdigställd av författaren Ryabushko A.P.

Detta projekt innehåller lösningar på följande problem:

1. Hitta en speciell lösning på differentialekvationen och beräkna värdet av den resulterande funktionen y=φ(x) vid x=x0 exakt med två decimaler. Differentialekvationen har formen y´´´= cos2x, initialvillkoren ges y(0) = 1, y´(0) = −1/8, y´´(0) = 0, det krävs för att hitta en lösning vid x = π.

2. Hitta en generell lösning på en differentialekvation som kan reduceras i ordning. Ekvationen är y´´ = −x/y´.

3. Lös Cauchy-problemet för en differentialekvation som tillåter en reduktion i ordning. Ekvationen har formen y´´ = 1 − y´2, initialvillkoren y(0) = 0, y´(0) = 0 är givna.

4. Integrera ekvationen x(2x2 + y2) + y(x2 + 2y2)y’= 0.

5. Skriv ner ekvationen för en kurva som går genom punkten A(x0, y0), om det är känt att vinkelkoefficienten för tangenten vid någon punkt är n gånger större än vinkelkoefficienten för den räta linjen som förbinder samma punkt med ursprung. Givet en punkt A(−6, 4) och n = 9.

Varje problem är försett med en detaljerad lösning, designad i Microsoft Word 2003 med hjälp av formelredigeraren.

***

1. Lösningarna i IDS 11.2 – Alternativ 9 är välstrukturerade och begripliga.
2. Tack vare besluten från Ryabushko A.P. enligt IDZ 11.2 - Alternativ 9 kunde jag snabbt och enkelt bemästra ett nytt ämne.
3. Lösningar av IDZ 11.2 – Alternativ 9 hjälpte mig att förbättra mina kunskaper i matematik.
4. IDS 11.2 – Alternativ 9-lösningar presenteras i ett bekvämt format och är lättillgängliga.
5. Jag rekommenderar att du använder Solutions by Ryabushko A.P. enligt IDZ 11.2 - Alternativ 9 för alla som vill slutföra uppgifterna framgångsrikt.
6. Lösningarna i IPD 11.2 – Alternativ 9 hjälpte mig att öka mitt förtroende för min kunskap.
7. Beslut Ryabushko A.P. för IDZ 11.2 – Alternativ 9 innehåller användbara tips och råd för att lösa problem.
8. Tack, IDS Solutions 11.2 – Alternativ 9 hjälpte mig att klara av mina läxor.
9. Jag hittade snabbt och enkelt den information jag behövde i Solutions by Ryabushko A.P. enligt IDZ 11.2 – Alternativ 9.
10. Lösningarna på IDZ 11.2 – Alternativ 9 hjälpte mig att bättre förstå materialet och förbereda mig för provet.

Egenheter:

En utmärkt lösning för dem som vill klara IDZ 11.2 - Alternativ 9.

Lösningar Ryabushko A.P. hjälpa dig att slutföra uppgiften snabbt och korrekt.

Tack för en så användbar digital produkt!

Lösningarna är mycket lättillgängliga och tydliga.

Tack vare IDZ 11.2 - Alternativ 9. Ryabushko A.P. Jag kunde få ett utmärkt betyg.

Superbehändigt format - kan användas på en dator eller skrivas ut.

Ett utmärkt val för dig som vill spara tid och nerver.

Lösningar Ryabushko A.P. hjälpte mig att förstå materialet bättre.

Tack för en så detaljerad och högkvalitativ produkt!

Jag skulle rekommendera (a) IDZ 11.2 - Alternativ 9. Lösningar Ryabushko A.P. till alla elever som vill få ett högt betyg.