Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 8

번호 1.8. 4개의 점이 주어집니다: A1(6;1;1); A2(4;6;6); A3(4;2;0); A4(1;2;6). 방정식을 작성해야합니다. a) 평면 A1A2A3; b) 직선형 A1A2; c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M; d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N; e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면.

또한 다음을 계산해야 합니다. e) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인; g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인.

a) 평면 A1A2A3의 방정식을 찾으려면 평면의 일반 방정식에 대한 공식인 Ax + By + Cz + D = 0을 사용해야 합니다. 먼저 벡터 A1A2 및 A1A3을 찾습니다.

A1A2 = (4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5) A1A3 = (4-6; 2-1; 0-1) = (-2; 1; -1)

그런 다음 벡터 곱을 찾습니다.

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

이제 점 A1과 벡터 n의 좌표를 평면의 일반 방정식 공식에 대입해 보겠습니다.

-6x - 10y + 12z + D = 0

디 = 66 + 101 - 12*1 = 58

평면의 방정식은 A1A2A3: -6x - 10y + 12z + 58 = 0입니다.

b) 선 A1A2의 방정식을 찾으려면 선 방정식의 매개변수 형식을 사용해야 합니다. x = x1 + at, y = y1 + bt, z = z1 + ct, 여기서 (a, b, c)는 선의 방향 벡터입니다.

직선 A1A2의 방향 벡터는 다음과 같습니다.

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

그러면 직선 A1A2의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = 6 - 2t y = 1 + 5t z = 1 + 5t

c) 평면 A1A2A3에 수직인 선 A4M의 방정식을 찾으려면 벡터 n에 직교하는 이 선의 방향 벡터를 찾아야 합니다. 즉:

(а, b, c) * (-6, -10, 12) = 0

직선 A4M의 방향 벡터는 다음과 같은 형식을 가져야 합니다.

(6, -3, -3)

이제 직선 A4M이 점 A4(1;2;6)을 통과한다는 것을 알고 직선 A4M의 방정식을 찾아보겠습니다.

x = 1 + 6t y = 2 - 3t z = 6 - 3t

d) 선 A3N은 선 A1A2와 평행하므로 방향 벡터는 선 A1A2의 방향 벡터와 동일한 좌표 표기법을 가져야 합니다.

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

선 A3N은 점 A3(4;2;0)을 통과하므로 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

x = 4 - 2t y = 2 + 5t z = 5t

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식을 찾으려면 점 a)의 공식과 유사한 평면의 일반 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 직선 A1A2의 방향 벡터를 구해 봅시다:

(4-6; 6-1; 6-1) = (-2; 5; 5)

원하는 평면의 방향 벡터는 이 벡터에 수직이어야 합니다. 따라서 좌표 중 하나의 부호가 변경된 좌표에서 얻은 벡터를 가져오거나 이 벡터와 벡터 사이의 벡터 곱을 가져올 수 있습니다. 예를 들어 (1 ,0,0):

(-5, -2, 2) 또는 (0, -5, 5)

그런 다음 점 A4의 좌표와 발견된 벡터를 평면의 일반 방정식에 대한 공식으로 대체합니다.

-5x - 2y + 2z + D = 0 및 0x - 5y + 5z + D = 0

디 = 51 - 52 + 5*6 = 23

점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식: -5x - 2y + 2z + 23 = 0 또는 0x - 5y + 5z + 23 = 0.

e) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 찾으려면 공식 sin α = |n * l|을 사용할 수 있습니다. / (|n| * |l|), 여기서 n은 평면에 대한 법선 벡터이고, l은 선의 방향 벡터입니다. A1A2A3 평면에 대한 법선 벡터를 찾아보겠습니다.

n = A1A2 x A1A3 = (-6; -10; 12)

직선 A1A4의 방향 벡터를 찾아보겠습니다.

A1A4 = (1-6; 2-1; 6-1) = (-5; 1; 5)

그러면 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인은 다음과 같습니다.

죄 α = |(-6; -10; 12) * (-5; 1; 5)| / (sqrt((-6)^2 + (-10)^2 + 12^2) * sqrt((-5)^2 + 1^2 + 5^2)) = 11/13

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 찾으려면 공식 cos α = |n * k| / (|n| * |k|), 여기서 n과 k는 평면에 대한 법선 벡터입니다. 좌표 평면 Oxy에 대한 법선 벡터는 (0;0;1) 형식을 가지며 평면 A1A2A3에 대한 법선 벡터는 점 a)에서 발견됩니다.

n = (-6; -10; 12) k = (0; 0; 1)

그러면 평면 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 옵션 8은 여러 점을 포함하는 형상 작업입니다.

1. 방정식 찾기: a) 세 점 A1(6;1;1), A2(4;6;6) 및 A3(4;2;0)을 통과하는 평면 b) 점 A1(6;1;1)과 A2(4;6;6)을 통과하는 직선; c) 점 A4(1;2;6)을 통과하고 세 점 A1, A2, A3을 통과하는 평면에 수직인 직선; d) A1과 A2 지점을 통과하고 A3 지점을 통과하는 직선과 평행한 직선; e) 점 A4를 통과하고 점 A1과 A2를 통과하는 선에 수직인 평면.

2. 계산: e) 점 A1(6;1;1) 및 A4(1;2;6)을 통과하는 직선과 세 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면 사이의 각도의 사인 g) 좌표 평면 Oxy와 세 점 A1, A2 및 A3를 통과하는 평면 사이의 각도의 코사인.

3. 두 개의 평행선을 통과하는 평면의 방정식을 찾고 점 P(3;1;-1)을 이 평면에 투영합니다.

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