№1.
4개의 점이 제공됩니다: A1(2;4;3), A2(1;1;5), A3(4;9;3), A4(3;6;7). 방정식을 작성해야 합니다.
a) 평면 A1A2A3의 방정식:
벡터 A1A2와 A1A3을 찾아보겠습니다.
A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)
A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)
벡터 A1A2와 A1A3의 벡터 곱을 찾아보겠습니다.
n = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)
그러면 A1A2A3 평면의 방정식은 다음과 같습니다.
-15x + 4y + 13z + d = 0
D를 찾기 위해 점 A1의 좌표를 방정식으로 대체합니다.
-152 + 44 + 13*3 + d = 0
d = 152 - 44 - 13*3 = -23
따라서 평면의 방정식은 A1A2A3입니다.
-15x + 4y + 13z - 23 = 0
b) 직선 A1A2의 방정식:
직선 A1A2의 방향 벡터를 구해 봅시다:
A1A2 = (-1; -3; 2)
그러면 A1A2 라인의 방정식은 다음과 같습니다.
x = 2 - 티
y = 4 - 3t
z = 3 + 2t
c) 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4M의 방정식:
평면 A1A2A3의 법선 벡터에 수직인 직선 A4M의 방향 벡터를 찾아보겠습니다.
n = (-15; 4; 13)
A4M선에서 점 M의 좌표를 찾아봅시다. M(x, y, z)라고 하자. 그러면 벡터 A4M과 n은 동일선상에 있게 되며 다음과 같은 방정식 시스템을 작성할 수 있습니다.
(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13
여기에서 x, y, z를 표현할 수 있습니다.
x = -5t + 3
y = (4/15)t + 6
z = (-13/15)t + 7
d) 직선 A1A2에 평행한 직선 A3N의 방정식:
직선 A1A2의 방향 벡터: (-1; -3; 2)
직선 A3N의 방향 벡터는 직선 A1A2의 방향 벡터와 평행해야 합니다. 그러면 직선 A3N의 방정식은 다음과 같습니다.
x = 4 + 에이
와이 = 9 + 비
z = 3 + 2a - 3b
e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식:
직선 A1A2의 방향 벡터: (-1; -3; 2)
원하는 평면의 법선 벡터는 이 벡터에 수직이어야 합니다. 따라서 원하는 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
D를 찾기 위해 점 A4의 좌표를 대체합니다.
-3 - 18 + 14 + d = 0
d = 7
따라서 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같습니다.
-x - 3y + 2z + 7 = 0
f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인:
직선 A1A4의 방향 벡터와 평면 A1A2A3의 법선 벡터를 찾아보겠습니다.
A1A4 = (1; 2; 4)
n = (-15; 4; 13)
그런 다음 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도 사인은 다음 공식으로 계산됩니다.
죄 α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|
여기서 |(A1A4, n)| - 벡터 A1A4와 n의 스칼라 곱, |A1A4| 그리고 |n| - 벡터 A1A4 및 n의 길이.
값을 계산해 보겠습니다.
|(A1A4, n)| = |-15 + 8 + 52| = 25
|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21
|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370
그 다음에:
죄 α = 25 / (√21 * √370) ≒ 0.572
g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인:
Oxy 평면의 법선 벡터: (0; 0; 1)
평면 A1A2A3의 법선 벡터: (-15; 4; 13)
그런 다음 평면 사이의 각도의 코사인은 다음 공식으로 계산됩니다.
cos α = (오쿠, A1A2A3) / |오쿠|*|A1A2A3|
여기서 (오후, A1A2A3) -
제품에 대한 설명을 작성하세요 - 아름다운 HTML 디자인을 갖춘 디지털 상품 매장의 디지털 제품: "IDZ Ryabushko 3.1 Option 4"
제품 설명 "IDZ Ryabushko 3.1 옵션 4":
이것은 작가 Ryabushko가 편찬한 일련의 수학 개별 숙제(IH) 과제인 디지털 제품입니다. 작업 3.1의 옵션 4에는 3차원 공간에서 평면과 선의 방정식을 작성하고, 선과 평면 사이의 각도를 계산하고, 선의 직각성을 증명하는 작업이 포함되어 있습니다.
과제는 인터넷 접속이 가능한 모든 장치에서 열 수 있는 아름답게 디자인된 HTML 문서로 제공됩니다. 이 문서에는 각 단계에 대한 자세한 설명과 함께 텍스트 작업과 단계별 솔루션이 포함되어 있습니다.
이 제품은 고등학교 수준이나 고등 수학의 초기 과정에서 수학을 공부하는 사람들에게 적합합니다. 과제를 해결하면 3차원 기하학 작업 기술을 향상할 수 있을 뿐만 아니라 학교나 대학에서의 성과도 향상할 수 있습니다.
제품 설명 "IDZ Ryabushko 3.1 옵션 4":
본 제품은 초등학생을 위한 "개인 숙제"(IH) 시리즈의 수학 과제입니다. 옵션 4는 Ryabushko IDZ 3.1 내 작업에 대한 옵션 중 하나입니다.
작업은 세 개의 숫자로 구성됩니다. 첫 번째 문제에서는 평면과 직선의 방정식을 만들고 각도의 사인과 코사인을 계산해야 합니다. 두 번째 문제에서는 주어진 점을 통과하고 Oxy 평면에 평행한 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다. 세 번째 문제에서는 두 선의 직각성을 증명해야 합니다.
해당 제품은 HTML 형식의 전자문서 형태로 제공되므로 컴퓨터나 모바일 기기에서 편리하게 업무를 확인하고 편집할 수 있습니다. 디자인은 쾌적하고 직관적인 스타일로 이루어져 제품 사용이 더욱 편안해졌습니다.
***
IDZ Ryabushko 3.1 옵션 4는 다음 작업을 포함하는 일련의 기하학 문제입니다.
a) 점 A1, A2 및 A3을 통과하는 평면의 방정식을 작성합니다. b) 점 A1과 A2를 통과하는 직선의 방정식을 작성하십시오. c) 점 A4를 통과하고 평면 A1A2A3에 수직인 직선에 대한 방정식을 작성하십시오. d) 점 A3을 통과하고 직선 A1A2에 평행한 직선의 방정식을 작성합니다. e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면에 대한 방정식을 작성하십시오. f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 사인을 계산합니다. g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산합니다.
점 A(2;-3;5)를 통과하고 평면 Oxy에 평행한 평면에 대한 방정식을 작성하십시오.
선 ..이 선 ...에 수직임을 증명하십시오. (특정 선과 해당 방정식은 사용 가능한 설명에 표시되지 않습니다.)
이러한 문제를 해결하려면 수학적 기하학에 대한 지식과 3차원 공간에서 선과 평면의 방정식을 다룰 수 있는 능력이 필요합니다.
IDZ Ryabushko 3.1 옵션 4는 Ryabushko의 프로그램을 기반으로 제작된 3학년 학생들을 위한 교과서입니다. 매뉴얼에는 수학, 러시아어, 우리 주변 세계, 학교 올림피아드 준비에 관한 과제와 연습이 포함되어 있습니다. 다양한 난이도의 문제를 제시하여 학생들이 자신의 수준에 맞는 과제를 선택하고 지식과 기술을 향상시킬 수 있도록 합니다. 옵션 4는 학생들이 배운 내용을 통합하고 시험을 준비하는 데 도움이 되는 과제와 연습이 포함되어 있다는 점에서 다른 옵션과 다릅니다. IDZ Ryabushko 3.1 옵션 4는 초등학교에서 성공적으로 공부하기를 원하는 학생들에게 유용한 안내서입니다.
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IDZ Ryabushko 3.1 옵션 6 - №1. Даны четыре точки: А1(0;7;1), А2(2;-1;5), А3(1;6;3), А4(3;-9;8). Необходимо составить уравнения: ... ...