IDZ リャブシュコ 3.1 オプション 4

№1.

4 つのポイントが与えられます: A1(2;4;3)、A2(1;1;5)、A3(4;9;3)、A4(3;6;7)。方程式を作成する必要があります。

a) 平面 A1A2A3 の方程式:

ベクトル A1A2 と A1A3 を見つけてみましょう。

A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)

A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)

ベクトル A1A2 と A1A3 のベクトル積を求めてみましょう。

n = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)

この場合、平面 A1A2A3 の方程式は次のようになります。

-15x + 4y + 13z + d = 0

D を見つけるには、点 A1 の座標を方程式に代入します。

-152 + 44 + 13*3 + d = 0

d = 152 - 44 - 13*3 = -23

したがって、平面の方程式は A1A2A3 となります。

-15x + 4y + 13z - 23 = 0

b) 直線 A1A2 の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトルを見つけてみましょう。

A1A2 = (-1; -3; 2)

すると、直線 A1A2 の方程式は次のようになります。

x = 2 - t

y = 4 - 3t

z = 3 + 2t

c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M の方程式:

平面 A1A2A3 の法線ベクトルに垂直な直線 A4M の方向ベクトルを見つけてみましょう。

n = (-15; 4; 13)

直線A4M上の点Mの座標を求めてみましょう。 M(x, y, z) とします。この場合、ベクトル A4M と n は同一直線上にあり、次の連立方程式を書くことができます。

(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13

ここから、x、y、z を表現できます。

x = -5t + 3

y = (4/15)t + 6

z = (-13/15)t + 7

d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトル: (-1; -3; 2)

直線 A3N の方向ベクトルは、直線 A1A2 の方向ベクトルと平行でなければなりません。この場合、直線 A3N の方程式は次のようになります。

x = 4 + a

y = 9 + b

z = 3 + 2a - 3b

e) 点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式:

直線 A1A2 の方向ベクトル: (-1; -3; 2)

目的の平面の法線ベクトルは、このベクトルに対して垂直でなければなりません。したがって、目的の平面の方程式は次のようになります。

• x - 3y + 2z + d = 0

D を見つけるには、点 A4 の座標を代入します。

-3 - 18 + 14 + d = 0

d = 7

したがって、点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式は次のようになります。

-x - 3y + 2z + 7 = 0

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦:

直線 A1A4 の方向ベクトルと平面 A1A2A3 の法線ベクトルを見つけてみましょう。

A1A4 = (1; 2; 4)

n = (-15; 4; 13)

次に、直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦が次の式で計算されます。

sin α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|

ここで |(A1A4, n)| - ベクトル A1A4 と n のスカラー積、|A1A4|そして|n| - ベクトル A1A4 および n の長さ。

値を計算してみましょう。

|(A1A4, n)| = |-15 + 8 + 52| = 25

|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21

|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370

それから：

sin α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0.572

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦:

Oxy 平面の法線ベクトル: (0; 0; 1)

平面 A1A2A3 の法線ベクトル: (-15; 4; 13)

次に、平面間の角度の余弦が次の式で計算されます。

cos α = (オクー, A1A2A3) / |オクー|*|A1A2A3|

ここで (Ohu、A1A2A3) -

製品の説明を書きます - 美しい HTML デザインのデジタルグッズ ストアのデジタル製品:「IDZ Ryabushko 3.1 Option 4」

製品説明「IDZ Ryabushko 3.1 オプション 4」:

これはデジタル製品であり、著者リャブシュコによってまとめられた数学の一連の個人宿題 (IH) の課題です。タスク 3.1 のオプション 4 には、3 次元空間での平面と直線の方程式の作成、直線と平面の間の角度の計算、および直線の垂直性の証明に関するタスクが含まれます。

課題は、インターネットにアクセスできる任意のデバイスで開くことができる、美しくデザインされた HTML ドキュメントとして表示されます。この文書には、テキストのタスクと、各ステップの詳細なコメントを含む段階的な解決策が含まれています。

この製品は、高校レベルの数学または高等数学の初期コースを学習する人に適しています。タスクを解決すると、3 次元ジオメトリを扱うスキルが向上し、学校や大学での成績も向上します。

製品説明「IDZ Ryabushko 3.1 オプション 4」:

本商品は、学校生徒向け「個別宿題」（IH）シリーズの算数課題です。オプション 4 は、Ryabushko IDZ 3.1 内のタスクのオプションの 1 つです。

タスクは 3 つの数字で構成されます。最初の問題では、平面、直線の方程式を作成し、角度のサインとコサインを計算する必要があります。 2 番目の問題では、指定された点を通過し、Oxy 平面に平行な平面の方程式を作成する必要があります。 3 番目の問題では、2 つの直線が垂直であることを証明する必要があります。

この製品は HTML 形式の電子ドキュメントの形式で提供されるため、コンピュータまたはモバイル デバイス上でタスクを簡単に表示および編集できます。デザインは快適で直感的なスタイルで作られており、製品をより快適に使用できます。

***

IDZ Ryabushko 3.1 オプション 4 は一連の幾何学問題であり、次のタスクが含まれます。

1. 4 つの点 A1(2;4;3) が与えられるとします。 A2(1;1;5); A3(4;9;3) ; A4(3;6;7)。必要：

a) 点 A1、A2、および A3 を通過する平面の方程式を作成します。 b) 点 A1 と A2 を通る直線の方程式を作成します。 c) 点 A4 を通り、平面 A1A2A3 に垂直な直線の方程式を作成します。 d) 点 A3 を通り、線 A1A2 に平行な線の方程式を作成します。 ｅ）点Ａ４を通り、直線Ａ１Ａ２に垂直な平面の方程式を作成する。 f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算します。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を計算します。

1. 点 A(2;-3;5) を通り、平面 Oxy に平行な平面の方程式を書きます。

2. 線 .. が線 ... に対して垂直であることを証明してください (利用可能な説明には特定の線とその方程式は示されていません)。

これらの問題を解決するには、数学的幾何学の知識と、3 次元空間で直線と平面の方程式を扱う能力が必要であることに注意してください。

IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 は、Ryabushko のプログラムに基づいて作成された 3 年生向けの教科書です。このマニュアルには、数学、ロシア語、私たちの周りの世界、さらには学校オリンピックの準備に関する課題や演習が含まれています。さまざまな難易度の問題が提示されるため、学生は自分のレベルに合わせてタスクを選択し、知識とスキルを向上させることができます。オプション 4 は、生徒が学んだ内容を定着させてテストの準備をするのに役立つ課題と演習が含まれているという点で他のオプションとは異なります。 IDZ Ryabushko 3.1 オプション 4 は、小学校でうまく勉強したい生徒にとって役立つガイドです。

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