№1.
给出四个点：A1(2;4;3)、A2(1;1;5)、A3(4;9;3)、A4(3;6;7)。有必要创建方程：
a) 平面A1A2A3的方程：
让我们找到向量 A1A2 和 A1A3：
A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)
A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)
让我们求向量 A1A2 和 A1A3 的向量积：
n = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)
那么平面 A1A2A3 的方程将如下所示：
-15x + 4y + 13z + d = 0
为了找到 d，我们将点 A1 的坐标代入方程：
-152 + 44 + 13*3 + d = 0
d = 152 - 44 - 13*3 = -23
因此，平面方程为 A1A2A3：
-15x + 4y + 13z - 23 = 0
b) 直线A1A2方程：
求直线A1A2的方向向量：
A1A2 = (-1;-3;2)
那么 A1A2 线的方程将如下所示：
x = 2 - t
y = 4 - 3t
z = 3 + 2t
c) 垂直于平面 A1A2A3 的直线 A4M 方程：
让我们找到直线 A4M 的方向向量，它将垂直于平面 A1A2A3 的法向量：
n = (-15;4;13)
让我们找到 A4M 线上 M 点的坐标。设 M(x, y, z)。那么向量A4M和n将共线，我们可以写出以下方程组：
(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13
从这里我们可以表达 x、y 和 z：
x = -5t + 3
y = (4/15)t + 6
z = (-13/15)t + 7
d) 直线 A3N 与直线 A1A2 平行的方程：
方向矢量直线 A1A2: (-1; -3; 2)
直线A3N的方向向量必须与直线A1A2的方向向量平行。那么直线 A3N 的方程将如下所示：
x = 4 + a
y = 9 + b
z = 3 + 2a - 3b
e) 过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程：
直线 A1A2 的方向向量：(-1; -3; 2)
所需平面的法向量必须垂直于该向量。因此，所需平面的方程将如下所示：
为了找到 d，我们代入点 A4 的坐标：
-3 - 18 + 14 + d = 0
d = 7
因此，通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面方程：
-x - 3y + 2z + 7 = 0
f) 直线 A1A4 与平面 A1A2A3 夹角的正弦：
让我们找到直线 A1A4 的方向向量和平面 A1A2A3 的法向量：
A1A4 = (1; 2; 4)
n = (-15;4;13)
然后直线A1A4与平面A1A2A3之间的夹角的正弦值由以下公式计算：
sin α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|
其中 |(A1A4, n)| - 向量 A1A4 和 n 的标量积 |A1A4|和|n| - 向量 A1A4 和 n 的长度。
让我们计算一下这些值：
|(A1A4, n)| = |-15 + 8 + 52| = 25
|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21
|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370
然后：
正弦α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0.572
g) 坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间夹角的余弦：
Oxy 平面的法向矢量：(0; 0; 1)
平面 A1A2A3 的法向矢量：(-15; 4; 13)
然后通过以下公式计算平面之间的角度的余弦：
cos α = (Okhu, A1A2A3) / |Okhu|*|A1A2A3|
其中 (Ohu, A1A2A3) -
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产品描述“IDZ Ryabushko 3.1 选项 4”：
这是一个数字产品，是作者 Ryabushko 编写的一系列数学个人作业（IH）中的一个任务。任务3.1的选项4包括在三维空间中构造平面和线的方程、计算线和平面之间的角度以及证明线的垂直度的任务。
作业以设计精美的 HTML 文档形式呈现，可以在任何可以访问 Internet 的设备上打开。该文档包含文本任务和分步解决方案，以及每个步骤的详细注释。
本产品适合学习高中数学或高等数学初级课程的学生。解决任务将有助于提高您处理三维几何的技能，并提高您在学校或大学的表现。
产品描述“IDZ Ryabushko 3.1 选项 4”：
该产品是针对中学生的“个人作业”（IH）系列的数学任务。选项 4 是 Ryabushko IDZ 3.1 内任务的选项之一。
该任务由三个数字组成。在第一期中，您需要创建平面、直线方程并计算角度的正弦和余弦。在第二个问题中，您需要为穿过给定点并平行于 Oxy 平面的平面创建方程。在第三个问题中，你需要证明两条直线的垂直度。
该产品以HTML格式的电子文档形式呈现，让您可以方便地在计算机或移动设备上查看和编辑任务。设计风格愉悦直观，使产品使用起来更加舒适。
***
IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 是一组几何问题，其中包括以下任务：
a) 画出经过A1、A2、A3点的平面方程； b) 建立经过A1、A2点的直线方程； c) 创建穿过点 A4 并垂直于平面 A1A2A3 的直线方程； d) 画出过点A3并平行于直线A1A2的直线方程； e) 创建穿过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面方程； f) 计算直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 计算坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦。
写出穿过点 A(2;-3;5) 并平行于平面 Oxy 的平面的方程。
证明直线..垂直于直线...（特定的直线及其方程在可用的描述中没有指出）。
请注意，解决这些问题需要数学几何知识以及处理三维空间中的直线和平面方程的能力。
IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 是一本针对三年级学生的教科书，是根据 Ryabushko 的程序创建的。该手册包含数学、俄语、我们周围的世界以及学校奥林匹克竞赛准备方面的任务和练习。它提出了不同难度的问题，允许学生选择适合自己水平的任务并提高他们的知识和技能。选项 4 与其他选项的不同之处在于，它包含作业和练习，可帮助学生巩固所学材料并准备考试。 IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 对于想要在小学顺利学习的学生来说是一本有用的指南。
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IDZ Ryabushko 3.1 选项 6 - 1. Даны четыре точки: А1(0;7;1), А2(2;-1;5), А3(1;6;3), А4(3;-9;8).... ...