IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4

№1.

São atribuídos quatro pontos: A1(2;4;3), A2(1;1;5), A3(4;9;3), A4(3;6;7). É necessário criar equações:

a) Equação do plano A1A2A3:

Vamos encontrar os vetores A1A2 e A1A3:

A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)

A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)

Vamos encontrar o produto vetorial dos vetores A1A2 e A1A3:

n = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)

Então a equação do plano A1A2A3 ficará assim:

-15x + 4y + 13z + d = 0

Para encontrar d, substituímos as coordenadas do ponto A1 na equação:

-152 + 44 + 13*3 + d = 0

d = 152 - 44 - 13*3 = -23

Então, a equação do plano é A1A2A3:

-15x + 4y + 13z - 23 = 0

b) Equação da reta A1A2:

Vamos encontrar o vetor de direção da linha reta A1A2:

A1A2 = (-1; -3; 2)

Então a equação da reta A1A2 ficará assim:

x = 2 - t

y = 4 - 3t

z = 3 + 2t

c) Equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3:

Vamos encontrar o vetor diretor da reta A4M, que será perpendicular ao vetor normal do plano A1A2A3:

n = (-15; 4; 13)

Vamos encontrar as coordenadas do ponto M na linha A4M. Seja M(x, y, z). Então os vetores A4M e n serão colineares, e podemos escrever o seguinte sistema de equações:

(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13

A partir daqui podemos expressar x, y e z:

x = -5t + 3

y = (4/15)t + 6

z = (-13/15) t + 7

d) Equação da reta A3N paralela à reta A1A2:

Vetor de direção reta A1A2: (-1; -3; 2)

O vetor de direção da reta A3N deve ser paralelo ao vetor de direção da reta A1A2. Então a equação da reta A3N ficará assim:

x = 4 + uma

y = 9 + b

z = 3 + 2a - 3b

e) Equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2:

Vetor de direção para linha reta A1A2: (-1; -3; 2)

O vetor normal para o plano desejado deve ser perpendicular a este vetor. Portanto, a equação do plano desejado terá a forma:

• x - 3y + 2z + d = 0

Para encontrar d, substituímos as coordenadas do ponto A4:

-3 - 18 + 14 + d = 0

d = 7

Assim, a equação de um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2:

-x - 3y + 2z + 7 = 0

f) Seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3:

Vamos encontrar o vetor de direção da reta A1A4 e o vetor normal do plano A1A2A3:

A1A4 = (1; 2; 4)

n = (-15; 4; 13)

Então o seno do ângulo entre a linha reta A1A4 e o plano A1A2A3 é calculado pela fórmula:

sen α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|

onde |(A1A4, n)| - produto escalar dos vetores A1A4 en, |A1A4| e |n| - comprimentos dos vetores A1A4 e n.

Vamos calcular os valores:

|(A1A4,n)| = |-15 + 8 + 52| = 25

|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21

|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370

Então:

sen α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0,572

g) Cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3:

Vetor normal para o plano Oxy: (0; 0; 1)

Vetor normal para o plano A1A2A3: (-15; 4; 13)

Então o cosseno do ângulo entre os planos é calculado pela fórmula:

cos α = (Okhu, A1A2A3) / |Okhu|*|A1A2A3|

onde (Ohu, A1A2A3) -

Escreva uma descrição do produto - um produto digital em uma loja de produtos digitais com um belo design HTML: "IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4"

Descrição do produto "IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4":

Este é um produto digital, que é uma tarefa de uma série de trabalhos de casa individuais (IH) em matemática, compilados pelo autor Ryabushko. A opção 4 da tarefa 3.1 inclui tarefas de composição de equações de planos e retas no espaço tridimensional, cálculo de ângulos entre retas e planos, bem como prova da perpendicularidade das retas.

A tarefa é apresentada como um documento HTML lindamente projetado que pode ser aberto em qualquer dispositivo com acesso à Internet. O documento contém tarefas de texto e soluções passo a passo com comentários detalhados para cada etapa.

Este produto é indicado para quem estuda matemática no ensino médio ou cursos iniciais de matemática superior. A resolução de tarefas ajudará a melhorar suas habilidades no trabalho com geometria tridimensional, bem como a melhorar seu desempenho na escola ou universidade.

Descrição do produto "IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4":

Este produto é uma tarefa de matemática da série "Trabalho de casa individual" (IH) para alunos do ensino fundamental. A opção 4 é uma das opções de tarefas do Ryabushko IDZ 3.1.

A tarefa consiste em três números. Na primeira edição você precisa criar equações do plano, das retas e calcular o seno e o cosseno dos ângulos. Na segunda questão, você precisa criar uma equação para um plano que passa por um determinado ponto e é paralelo ao plano Oxy. Na terceira questão você precisa provar a perpendicularidade de duas retas.

O produto é apresentado na forma de um documento eletrônico em formato HTML, que permite visualizar e editar comodamente a tarefa em um computador ou dispositivo móvel. O design é feito em um estilo agradável e intuitivo, o que torna o uso do produto mais confortável.

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IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4 é um conjunto de problemas de geometria, que inclui as seguintes tarefas:

1. Dados quatro pontos A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3); A4(3;6;7). Necessário:

a) traçar uma equação do plano que passa pelos pontos A1, A2 e A3; b) compor uma equação de uma reta que passa pelos pontos A1 e A2; c) criar uma equação para uma reta que passa pelo ponto A4 e é perpendicular ao plano A1A2A3; d) traçar a equação de uma reta que passa pelo ponto A3 e paralela à reta A1A2; e) criar uma equação para um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2; f) calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

1. Escreva uma equação para um plano que passa pelo ponto A(2;-3;5) e paralelo ao plano Oxy.

2. Prove que a reta .. é perpendicular à reta ... (as retas específicas e suas equações não são indicadas na descrição disponível).

Observe que a solução desses problemas requer conhecimento de geometria matemática e capacidade de trabalhar com equações de retas e planos no espaço tridimensional.

IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4 é um livro didático para alunos da 3ª série, criado com base no programa de Ryabushko. O manual contém tarefas e exercícios sobre matemática, a língua russa, o mundo que nos rodeia, bem como preparação para as Olimpíadas escolares. Apresenta problemas de dificuldade variada, permitindo aos alunos escolher tarefas ao seu nível e melhorar os seus conhecimentos e competências. A opção 4 difere das outras opções porque inclui tarefas e exercícios que ajudarão os alunos a consolidar o material aprendido e a se preparar para os testes. IDZ Ryabushko 3.1 Opção 4 é um guia útil para alunos que desejam estudar com sucesso no ensino fundamental.

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