IDZ Ryabushko 3.1 옵션 6

1위. 4개의 점이 제공됩니다: A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8). 방정식을 작성해야 합니다.

a) 점 A1, A2 및 A3를 통과하는 평면의 방정식:

세 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾으려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

(x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y - y1)(z3 - z1) + (x2 - x1)(y2 - y1)(z - z1) = 0,

여기서 x, y, z는 평면 위의 임의 점의 좌표이고, x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3은 주어진 점의 좌표입니다.

점의 좌표를 대체하고 평면의 방정식을 얻습니다.

(2 - x)(-8) + (0 - 2)(13) + (0 - 7)(3 - 1) = 0

단순화하자:

-16 + 26 - 12 = 0

따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

-8x + 13y - 12z + 6 = 0.

b) 점 A1과 A2를 통과하는 직선의 방정식:

주어진 두 점을 통과하는 선의 방정식을 찾으려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct에서,

여기서 x1, y1, z1 및 x2, y2, z2는 주어진 지점의 좌표이고, a, b, c는 안내 계수, t는 매개변수입니다.

안내 계수를 찾아보겠습니다.

a = x2 - x1 = 2 - 0 = 2 b = y2 - y1 = -1 - 7 = -8 c = z2 - z1 = 5 - 1 = 4

좌표와 방향 계수의 값을 대입하여 직선의 방정식을 구해 보겠습니다.

x = 2t y = -8t + 7 z = 4t + 1

c) 점 A4를 통과하고 평면 A1A2A3에 수직인 직선의 방정식:

주어진 평면에 수직이고 주어진 점을 통과하는 선의 방정식을 찾으려면 다음 단계를 사용해야 합니다.

1. 주어진 점을 통과하고 주어진 평면에 수직인 평면의 방정식을 구합니다.
2. 발견된 평면과 주어진 점을 통과하고 주어진 평면에 평행한 선의 교차점을 찾습니다.
3. 주어진 점과 발견된 교차점을 통과하는 선의 방정식을 작성하십시오.

평면 A1A2A3에 수직이고 점 A4를 통과하는 평면의 방정식을 찾아 보겠습니다. 이렇게 하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

-8x + 13y - 12z + d = 0,

여기서 d는 찾아야 하는 알 수 없는 계수입니다. 점 A4의 좌표를 대체하고 평면의 방정식을 얻습니다.

-83 +13(-9) - 12*8 + d = 0

방정식을 풀고 d를 구해 봅시다:

d = 169

따라서 점 A4를 통과하고 평면 A1A2A3에 수직인 평면의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

-8x + 13y - 12z + 169 = 0.

발견한 평면과 직선 A1A2의 교점을 찾아봅시다. 이를 위해 직선 방정식을 평면 방정식으로 대체하고 결과 방정식 시스템을 해결합니다.

-8(2t) + 13(-8t + 7) - 12(4t + 1) + 169 = 0

방정식을 풀면 매개변수 t의 값을 찾습니다.

티 = -3/4

이제 교차점의 좌표를 찾아 보겠습니다.

x = 2(-3/4) = -3/2 y = -8(-3/4) + 7 = 13 z = 4(-3/4) + 1 = -2

따라서 교차점의 좌표는 (-3/2; 13; -2)입니다. 점 A4와 (-3/2; 13; -2)를 통과하는 직선에 대한 방정식을 만드는 것이 남아 있습니다. 이를 위해 두 점을 통과하는 선의 방정식에 대한 공식을 사용합니다.

x = 3 - 5/4t y = -9 + 40/3t z = 8 - 11/2t

여기서 t는 매개변수입니다.

d) 직선 A1A2에 평행하고 점 A3을 통과하는 선의 방정식:

주어진 선에 평행하고 주어진 점을 통과하는 선의 방정식을 찾으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

x = x1 + y = y1 + bt z = z1 + ct에서,

여기서 x1, y1, z1은 주어진 점의 좌표이고, a, b, c는 안내 계수이며, 이는 주어진 직선의 안내 계수와 동일해야 합니다.

주어진 직선 A1A2의 유도 계수를 찾아 보겠습니다.

a = 2 - 0 = 2 b = -1 - 7 = -8 c = 5 - 1 = 4

따라서 선 A1A2에 평행하고 점 A3을 통과하는 선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식:

주어진 직선에 수직이고 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾으려면 다음 공식을 사용해야 합니다.

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0,

여기서 x0, y0, z0은 주어진 점의 좌표이고, a, b, c는 주어진 직선의 방향 벡터에 수직이어야 하는 방향 계수입니다.

주어진 직선 A1A2의 방향 벡터를 찾아보겠습니다.

당신 = (2, -8, 4)

따라서 평면의 유도 계수는 수직이어야 합니다.

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IDZ Ryabushko 3.1 옵션 6은 주어진 점을 통과하거나 주어진 선과 평면에 평행/수직인 선과 평면의 방정식을 찾는 여러 작업을 포함하는 수학 작업입니다.

이 작업은 A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8)의 네 ​​가지 점을 제공하며 다음을 생성해야 합니다. 방정식:

a) 점 A1, A2 및 A3를 통과하는 평면의 방정식; b) 점 A1과 A2를 통과하는 직선의 방정식; c) 점 A4를 통과하고 평면 A1A2A3에 수직인 직선의 방정식; d) 직선 A1A2에 평행하고 점 A3을 통과하는 선의 방정식; e) 점 A4를 통과하고 직선 A1A2에 수직인 평면의 방정식.

각 문제를 해결하기 위해 작업 조건에 설명된 적절한 공식과 방법이 사용됩니다.

IDZ Ryabushko 3.1 옵션 6은 평면과 선의 방정식 풀기, 방향 계수 및 수직 평면 찾기를 포함하는 수학 작업 세트입니다.

이 작업은 A1(0;7;1), A2(2;-1;5), A3(1;6;3), A4(3;-9;8)의 네 ​​가지 점을 제공합니다. 다음 작업을 해결해야 합니다.

a) 점 A1, A2, A3를 통과하는 평면의 방정식을 구합니다. 이를 위해 평면의 임의 점 좌표를 주어진 점 좌표와 연결하는 공식을 사용할 수 있습니다.

b) 점 A1과 A2를 지나는 직선의 방정식을 구합니다. 이렇게 하려면 선 위의 임의 점 좌표를 주어진 점 좌표와 연결하는 공식을 사용해야 합니다.

c) 점 A4를 통과하고 평면 A1A2A3에 수직인 선의 방정식을 구합니다. 이렇게 하려면 먼저 주어진 평면에 수직이고 주어진 점을 통과하는 평면의 방정식을 찾아야 합니다. 그런 다음 이 평면과 주어진 점을 통과하고 주어진 평면에 평행한 선의 교차점을 찾아야 합니다. 그리고 마지막으로, 주어진 점과 발견된 교차점을 통과하는 직선에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

d) 직선 A1A2와 평행하고 점 A3을 통과하는 직선의 방정식을 구합니다. 이렇게 하려면 선 위의 임의 점의 좌표를 주어진 점의 좌표 및 주어진 선의 방향 계수와 연결하는 공식을 사용해야 합니다.

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식을 구합니다. 이렇게 하려면 평면의 임의 점 좌표를 주어진 점의 좌표와 주어진 직선의 가이드에 수직이어야 하는 가이드 계수와 연결하는 공식을 사용해야 합니다.

***

IDZ Ryabushko 3.1 옵션 6은 다양한 복잡성의 여러 하위 작업이 포함된 형상 작업입니다.

1위. 첫 번째 작업에서는 3차원 공간에 네 개의 점이 주어지고, 이 점들을 통과하는 평면과 선의 방정식을 만들고, 각도를 계산하고, 수직선과 평행선을 찾아야 합니다.

a) 평면 A1A2A3의 방정식을 컴파일하려면 평면 Ax + By + Cz + D = 0의 일반 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 여기서 계수 A, B 및 C는 거짓말하는 벡터의 벡터 곱을 사용하여 결정됩니다. 이 비행기에서. 따라서 평면 A1A2A3의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

-5x + 7y - 11z + 44 = 0

b) 직선 A1A2의 방정식을 컴파일하려면 다음 형식의 직선 매개변수 방정식에 대한 공식을 사용할 수 있습니다.

x = 2t y = 7 - 4t z = 1 + 4t

c) 직선 A4M의 방정식을 작성하려면 점 A4와 M을 통과하는 직선의 매개변수 방정식 공식을 사용할 수 있습니다. 점 M은 지정되지 않으므로 임의로 선택해야 합니다. 예를 들어 점 M(0,0,0)을 사용할 수 있습니다. 그러면 직선 A4M의 매개변수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = 3t y = -9 - 3t z = 8 - 2t

평면 A1A2A3에 대한 수직은 평면 방정식의 계수에 의해 결정되는 이 평면의 법선 벡터를 사용하여 찾을 수 있습니다. 따라서 평면 A1A2A3의 법선 벡터는 좌표 (-5, 7, -11)를 가지며 평면 A1A2A3에 수직인 직선 A4N은 다음 방정식을 갖습니다.

x = 3 + 5t y = -9 - 7t z = 8 + 11t

d) 직선 A3N은 직선 A1A2와 평행합니다. 이는 직선 A1A2의 방향 벡터와 방향 벡터가 일치한다는 의미입니다. 직선 A1A2의 방향 벡터는 좌표 (2, -8, 4)를 가지므로 직선 A3N의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

x = 1 + 2t y = 6 - 8t z = 3 + 4t

e) 점 A4를 통과하고 선 A1A2에 수직인 평면의 방정식은 평면의 일반 방정식과 선 A1A2에 수직을 향하는 법선 벡터에 대한 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다. A1A4 선의 벡터입니다. 직선 A1A4의 방향 벡터는 좌표 (3, -16, 7)를 가지므로 평면의 법선 벡터는 좌표 (3, -16, 7)를 가지며 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

3x - 16y + 7z + 118 = 0

f) 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인을 계산하려면 직선 A1A4의 방향 벡터와 평면 A1A2A3의 법선 벡터 사이의 각도의 코사인을 구한 다음 계산된 코사인에 추가되는 각도의 사인입니다. 직선 A1A4의 방향 벡터는 좌표 (3, -16, 7)를 갖고, 평면 A1A2A3의 법선 벡터는 좌표 (-5, 7, -11)를 갖습니다. 내적은 -211이고 벡터의 길이는 √290.5와 √195이며, 이는 두 벡터 사이의 각도의 코사인이 -0.924와 같습니다. 결과적으로 직선 A1A4와 평면 A1A2A3 사이 각도의 사인은 √(1-0.924^2) ≒ 0.383과 같습니다.

g) 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도의 코사인을 계산하려면 법선 벡터 사이의 각도를 찾아야 합니다. 좌표 평면 Oxy의 법선 벡터는 좌표 (0, 0, 1)를 가지며, 평면 A1A2A3의 법선 벡터는 앞서 발견되었으며 좌표 (-5, 7, -11)를 갖습니다. 내적은 -11이고, 벡터의 길이는 1과 √195이며, 이는 두 벡터 사이의 각도의 코사인이 -0.056과 같습니다. 결과적으로 좌표 평면 Oxy와 평면 A1A2A3 사이의 각도는 대략 acos(-0.056) ≒ 90.6도와 같습니다.

2번. 두 번째 작업에서는 주어진 두 점을 통과하고 Oy 축에 평행한 평면에 대한 방정식을 작성해야 합니다.

평면이 Oy 축에 평행하려면 법선 벡터가 Oy 축을 따라야 합니다. 즉, 좌표는 (0, k, 0)이어야 합니다. 여기서 k는 임의의 숫자입니다. 평면의 법선 벡터는 점 A(2, 5, -1)과 B(-3, 1, 3)을 연결하는 벡터에 수직이어야 합니다. 즉, 내적은 0이어야 합니다.

따라서 평면의 방정식은 다음과 같습니다.

k와이 - 5k + 2*z - 4 = 0

여기서 k는 임의의 숫자입니다.

3번. 세 번째 작업에서는 선이 주어진 선과 평행한 매개변수 값을 찾아야 합니다. 이를 위해서는 주어진 선의 방향 벡터의 좌표를 매개변수를 통해 표현하고, 이에 대응하는 원하는 선의 방향 벡터의 좌표를 찾아야 한다. 그렇다면 당신은 필요합니다

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