IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4

№1.

Se dan cuatro puntos: A1(2;4;3), A2(1;1;5), A3(4;9;3), A4(3;6;7). Es necesario crear ecuaciones:

a) Ecuación del plano A1A2A3:

Encontremos los vectores A1A2 y A1A3:

A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)

A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)

Encontremos el producto vectorial de los vectores A1A2 y A1A3:

norte = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)

Entonces la ecuación del avión A1A2A3 quedará así:

-15x + 4y + 13z + d = 0

Para encontrar d, sustituimos las coordenadas del punto A1 en la ecuación:

-152 + 44 + 13*3 + d = 0

re = 152 - 44 - 13*3 = -23

Entonces, la ecuación del avión es A1A2A3:

-15x + 4y + 13z - 23 = 0

b) Ecuación de la recta A1A2:

Encontremos el vector director de la recta A1A2:

A1A2 = (-1; -3; 2)

Entonces la ecuación de la línea A1A2 quedará así:

x = 2-t

y = 4 - 3t

z = 3 + 2t

c) Ecuación de la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3:

Encontremos el vector director de la recta A4M, que será perpendicular al vector normal del plano A1A2A3:

norte = (-15; 4; 13)

Encontremos las coordenadas del punto M en la línea A4M. Sea M(x, y, z). Entonces los vectores A4M yn serán colineales, y podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13

Desde aquí podemos expresar x, y y z:

x = -5t + 3

y = (4/15)t + 6

z = (-13/15)t + 7

d) Ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2:

Vector de dirección recta A1A2: (-1; -3; 2)

El vector director de la recta A3N debe ser paralelo al vector director de la recta A1A2. Entonces la ecuación de la recta A3N quedará así:

x = 4 + un

y = 9 + segundo

z = 3 + 2a - 3b

e) Ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2:

Vector de dirección para la recta A1A2: (-1; -3; 2)

El vector normal del plano deseado debe ser perpendicular a este vector. Por tanto, la ecuación del plano deseado quedará así:

• x - 3y + 2z + d = 0

Para encontrar d, sustituimos las coordenadas del punto A4:

-3 - 18 + 14 + d = 0

re = 7

Entonces, la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2:

-x - 3y + 2z + 7 = 0

f) Seno del ángulo formado por la recta A1A4 y el plano A1A2A3:

Encontremos el vector director de la recta A1A4 y el vector normal del plano A1A2A3:

A1A4 = (1; 2; 4)

norte = (-15; 4; 13)

Luego, el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3 se calcula mediante la fórmula:

sen α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|

donde |(A1A4, n)| - producto escalar de los vectores A1A4 y n, |A1A4| y |norte| - longitudes de los vectores A1A4 y n.

Calculemos los valores:

|(A1A4, n)| = |-15 + 8 + 52| = 25

|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21

|norte| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370

Entonces:

sen α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0,572

g) Coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3:

Vector normal para el plano Oxy: (0; 0; 1)

Vector normal para el plano A1A2A3: (-15; 4; 13)

Luego, el coseno del ángulo entre los planos se calcula mediante la fórmula:

porque α = (Okhu, A1A2A3) / |Okhu|*|A1A2A3|

donde (Ohu, A1A2A3) -

Escriba una descripción del producto: un producto digital en una tienda de productos digitales con un hermoso diseño html: "IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4"

Descripción del producto "IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4":

Este es un producto digital, que es una tarea de una serie de tareas individuales (IH) en matemáticas, compiladas por el autor Ryabushko. La opción 4 de la tarea 3.1 incluye tareas sobre cómo componer ecuaciones de planos y rectas en un espacio tridimensional, calcular ángulos entre rectas y planos, así como demostrar la perpendicularidad de las rectas.

La tarea se presenta como un documento HTML bellamente diseñado que se puede abrir en cualquier dispositivo con acceso a Internet. El documento contiene tareas de texto y soluciones paso a paso con comentarios detallados para cada paso.

Este producto es adecuado para quienes estudian matemáticas a nivel de secundaria o cursos iniciales de matemáticas superiores. Resolver tareas le ayudará a mejorar sus habilidades para trabajar con geometría tridimensional, así como a mejorar su rendimiento en la escuela o la universidad.

Descripción del producto "IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4":

Este producto es una tarea de matemáticas de la serie "Tarea individual" (IH) para estudiantes de escuela. La opción 4 es una de las opciones para tareas dentro de Ryabushko IDZ 3.1.

La tarea consta de tres números. En el primer número necesitas crear ecuaciones del plano, líneas rectas y calcular el seno y el coseno de los ángulos. En el segundo número, debes crear una ecuación para un plano que pasa por un punto dado y es paralelo al plano Oxy. En la tercera pregunta necesitas demostrar la perpendicularidad de dos líneas.

El producto se presenta en forma de documento electrónico en formato HTML, lo que le permite ver y editar cómodamente la tarea en una computadora o dispositivo móvil. El diseño está realizado en un estilo agradable e intuitivo, lo que hace que el uso del producto sea más cómodo.

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IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4 es un conjunto de problemas de geometría, que incluye las siguientes tareas:

1. Dados cuatro puntos A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3); A4(3;6;7). Necesario:

a) trazar una ecuación del plano que pasa por los puntos A1, A2 y A3; b) componer una ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A1 y A2; c) crear una ecuación para una línea recta que pasa por el punto A4 y es perpendicular al plano A1A2A3; d) trazar la ecuación de una recta que pasa por el punto A3 y es paralela a la recta A1A2; e) crear una ecuación para un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2; f) calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por el punto A(2;-3;5) y es paralelo al plano Oxy.

2. Demuestre que la recta... es perpendicular a la recta... (las rectas específicas y sus ecuaciones no se indican en la descripción disponible).

Tenga en cuenta que resolver estos problemas requiere conocimientos de geometría matemática y la capacidad de trabajar con ecuaciones de líneas y planos en un espacio tridimensional.

IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4 es un libro de texto para estudiantes de tercer grado, creado sobre la base del programa de Ryabushko. El manual contiene tareas y ejercicios sobre matemáticas, el idioma ruso, el mundo que nos rodea y preparación para las Olimpiadas escolares. Presenta problemas de diversa dificultad, permitiendo a los estudiantes elegir tareas a su nivel y mejorar sus conocimientos y habilidades. La opción 4 se diferencia de otras opciones en que incluye tareas y ejercicios que ayudarán a los estudiantes a consolidar el material aprendido y prepararse para los exámenes. IDZ Ryabushko 3.1 Opción 4 es una guía útil para estudiantes que desean estudiar con éxito en la escuela primaria.

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