IDZ Ryabushko 3.1 Option 4

№1.

Es werden vier Punkte vergeben: A1(2;4;3), A2(1;1;5), A3(4;9;3), A4(3;6;7). Es müssen Gleichungen erstellt werden:

a) Gleichung der Ebene A1A2A3:

Suchen wir die Vektoren A1A2 und A1A3:

A1A2 = (1-2; 1-4; 5-3) = (-1; -3; 2)

A1A3 = (4-2; 9-4; 3-3) = (2; 5; 0)

Finden wir das Vektorprodukt der Vektoren A1A2 und A1A3:

n = A1A2 × A1A3 = (-15; 4; 13)

Dann sieht die Gleichung der Ebene A1A2A3 wie folgt aus:

-15x + 4y + 13z + d = 0

Um d zu finden, setzen wir die Koordinaten von Punkt A1 in die Gleichung ein:

-152 + 44 + 13*3 + d = 0

d = 152 - 44 - 13*3 = -23

Die Gleichung der Ebene lautet also A1A2A3:

-15x + 4y + 13z - 23 = 0

b) Gleichung der Geraden A1A2:

Finden wir den Richtungsvektor der Geraden A1A2:

A1A2 = (-1; -3; 2)

Dann sieht die Gleichung der Linie A1A2 wie folgt aus:

x = 2 - t

y = 4 - 3t

z = 3 + 2t

c) Gleichung der Geraden A4M senkrecht zur Ebene A1A2A3:

Finden wir den Richtungsvektor für die Gerade A4M, der senkrecht zum Normalenvektor der Ebene A1A2A3 steht:

n = (-15; 4; 13)

Suchen wir die Koordinaten des Punktes M auf der Linie A4M. Sei M(x, y, z). Dann sind die Vektoren A4M und n kollinear und wir können das folgende Gleichungssystem schreiben:

(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13

Von hier aus können wir x, y und z ausdrücken:

x = -5t + 3

y = (4/15)t + 6

z = (-13/15)t + 7

d) Gleichung der Geraden A3N parallel zur Geraden A1A2:

Richtungsvektor gerade A1A2: (-1; -3; 2)

Der Richtungsvektor der Geraden A3N muss parallel zum Richtungsvektor der Geraden A1A2 sein. Dann sieht die Gleichung der Geraden A3N so aus:

x = 4 + a

y = 9 + b

z = 3 + 2a – 3b

e) Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht:

Richtungsvektor für Gerade A1A2: (-1; -3; 2)

Der Normalenvektor für die gewünschte Ebene muss senkrecht zu diesem Vektor stehen. Daher sieht die Gleichung der gewünschten Ebene wie folgt aus:

• x - 3y + 2z + d = 0

Um d zu finden, ersetzen wir die Koordinaten von Punkt A4:

-3 - 18 + 14 + d = 0

d = 7

Also die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht:

-x - 3y + 2z + 7 = 0

f) Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3:

Finden wir den Richtungsvektor für die Gerade A1A4 und den Normalenvektor für die Ebene A1A2A3:

A1A4 = (1; 2; 4)

n = (-15; 4; 13)

Dann wird der Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3 nach folgender Formel berechnet:

sin α = |(À1À4, n)| / |À1À4|*|n|

wobei |(A1A4, n)| - Skalarprodukt der Vektoren A1A4 und n, |A1A4| und |n| - Längen der Vektoren A1A4 und n.

Berechnen wir die Werte:

|(A1A4, n)| = |-15 + 8 + 52| = 25

|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21

|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370

Dann:

sin α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0,572

g) Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3:

Normalenvektor für die Oxy-Ebene: (0; 0; 1)

Normalenvektor für Ebene A1A2A3: (-15; 4; 13)

Dann wird der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen nach der Formel berechnet:

cos α = (Okhu, A1A2A3) / |Okhu|*|A1A2A3|

wo (Ohu, A1A2A3) -

Schreiben Sie eine Beschreibung des Produkts – ein digitales Produkt in einem Digitalwarenladen mit einem schönen HTML-Design: „IDZ Ryabushko 3.1 Option 4“

Produktbeschreibung „IDZ Ryabushko 3.1 Option 4“:

Hierbei handelt es sich um ein digitales Produkt, bei dem es sich um eine Aufgabe aus einer Reihe individueller Hausaufgaben (IH) in Mathematik handelt, zusammengestellt vom Autor Ryabushko. Option 4 von Aufgabe 3.1 umfasst Aufgaben zum Aufstellen von Gleichungen für Ebenen und Linien im dreidimensionalen Raum, zum Berechnen von Winkeln zwischen Linien und Ebenen sowie zum Nachweis der Rechtwinkligkeit von Linien.

Die Aufgabe wird als schön gestaltetes HTML-Dokument präsentiert, das auf jedem Gerät mit Internetzugang geöffnet werden kann. Das Dokument enthält Textaufgaben und Schritt-für-Schritt-Lösungen mit detaillierten Kommentaren zu jedem Schritt.

Dieses Produkt ist für diejenigen geeignet, die Mathematik auf der Oberstufenebene oder Erstkurse in höherer Mathematik studieren. Das Lösen von Aufgaben trägt dazu bei, Ihre Fähigkeiten im Umgang mit dreidimensionaler Geometrie zu verbessern und Ihre Leistungen in der Schule oder Universität zu verbessern.

Produktbeschreibung „IDZ Ryabushko 3.1 Option 4“:

Bei diesem Produkt handelt es sich um eine Mathematikaufgabe aus der Reihe „Individuelle Hausaufgaben“ (IH) für Schüler. Option 4 ist eine der Optionen für Aufgaben innerhalb des Ryabushko IDZ 3.1.

Die Aufgabe besteht aus drei Zahlen. In der ersten Ausgabe müssen Sie Gleichungen der Ebene und gerader Linien erstellen und den Sinus und Cosinus von Winkeln berechnen. In der zweiten Ausgabe müssen Sie eine Gleichung für eine Ebene erstellen, die durch einen bestimmten Punkt verläuft und parallel zur Oxy-Ebene verläuft. In der dritten Ausgabe müssen Sie die Rechtwinkligkeit zweier Geraden nachweisen.

Das Produkt wird in Form eines elektronischen Dokuments im HTML-Format präsentiert, sodass Sie die Aufgabe bequem auf einem Computer oder Mobilgerät anzeigen und bearbeiten können. Das Design ist in einem angenehmen und intuitiven Stil gestaltet, was die Verwendung des Produkts komfortabler macht.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 ist eine Reihe von Geometrieproblemen, die die folgenden Aufgaben umfasst:

1. Gegeben sind vier Punkte A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3) ; A4(3;6;7). Notwendig:

a) Erstellen Sie eine Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A1, A2 und A3 verläuft; b) eine Gleichung einer Geraden aufstellen, die durch die Punkte A1 und A2 verläuft; c) Erstellen Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Ebene A1A2A3 steht; d) Stellen Sie eine Gleichung einer Geraden auf, die durch den Punkt A3 verläuft und parallel zur Geraden A1A2 verläuft; e) Erstellen Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt A4 verläuft und senkrecht zur Geraden A1A2 steht; f) Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden A1A4 und der Ebene A1A2A3; g) Berechnen Sie den Kosinus des Winkels zwischen der Koordinatenebene Oxy und der Ebene A1A2A3.

1. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Punkt A(2;-3;5) verläuft und parallel zur Ebene Oxy verläuft.

2. Beweisen Sie, dass die Linie .. senkrecht zur Linie ... steht (spezifische Linien und ihre Gleichungen sind in der verfügbaren Beschreibung nicht angegeben).

Bitte beachten Sie, dass die Lösung dieser Probleme Kenntnisse der mathematischen Geometrie und die Fähigkeit erfordert, mit Gleichungen von Linien und Ebenen im dreidimensionalen Raum zu arbeiten.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 ist ein Lehrbuch für Schüler der 3. Klasse, das auf der Grundlage von Ryabushkos Programm erstellt wurde. Das Handbuch enthält Aufgaben und Übungen zu Mathematik, der russischen Sprache, der Welt um uns herum sowie zur Vorbereitung auf Schulolympiaden. Es stellt Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad dar, sodass die Schüler Aufgaben auf ihrem Niveau auswählen und ihr Wissen und ihre Fähigkeiten verbessern können. Option 4 unterscheidet sich von anderen Optionen dadurch, dass sie Aufgaben und Übungen enthält, die den Studierenden helfen, das Gelernte zu festigen und sich auf Prüfungen vorzubereiten. IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 ist ein nützlicher Leitfaden für Schüler, die in der Grundschule erfolgreich lernen möchten.

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