IDZ Ryabushko 3.1 Option 4

№1.

Quatre points sont donnés : A1(2;4;3), A2(1;1;5), A3(4;9;3), A4(3;6;7). Il faut créer des équations :

a) Équation du plan A1A2A3 :

Trouvons les vecteurs A1A2 et A1A3 :

A1A2 = (1-2 ; 1-4 ; 5-3) = (-1 ; -3 ; 2)

A1A3 = (4-2 ; 9-4 ; 3-3) = (2 ; 5 ; 0)

Trouvons le produit vectoriel des vecteurs A1A2 et A1A3 :

n = A1A2 × A1A3 = (-15 ; 4 ; 13)

Alors l’équation du plan A1A2A3 ressemblera à :

-15x + 4y + 13z + d = 0

Pour trouver d, on substitue les coordonnées du point A1 dans l'équation :

-152 + 44 + 13*3 + d = 0

d = 152 - 44 - 13*3 = -23

Ainsi, l’équation du plan est A1A2A3 :

-15x + 4y + 13z - 23 = 0

b) Équation de la droite A1A2 :

Trouvons le vecteur directeur de la droite A1A2 :

A1A2 = (-1 ; -3 ; 2)

L’équation de la droite A1A2 ressemblera alors à :

x = 2 - t

y = 4 - 3t

z = 3 + 2t

c) Équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 :

Trouvons le vecteur directeur de la droite A4M, qui sera perpendiculaire au vecteur normal du plan A1A2A3 :

n = (-15 ; 4 ; 13)

Trouvons les coordonnées du point M sur la ligne A4M. Soit M(x, y, z). Alors les vecteurs A4M et n seront colinéaires, et on pourra écrire le système d'équations suivant :

(x - 3)/(-15) = (y - 6)/4 = (z - 7)/13

De là, nous pouvons exprimer x, y et z :

x = -5t + 3

y = (4/15)t + 6

z = (-13/15)t + 7

d) Équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2 :

Vecteur directeur de la droite A1A2 : (-1 ; -3 ; 2)

Le vecteur directeur de la droite A3N doit être parallèle au vecteur directeur de la droite A1A2. Alors l’équation de la droite A3N ressemblera à :

x = 4 + une

y = 9 + b

z = 3 + 2a - 3b

e) Équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

Vecteur directeur de la droite A1A2 : (-1 ; -3 ; 2)

Le vecteur normal au plan souhaité doit être perpendiculaire à ce vecteur. Par conséquent, l’équation du plan souhaité ressemblera à :

• x - 3y + 2z + d = 0

Pour trouver d, on substitue les coordonnées du point A4 :

-3 - 18 + 14 + d = 0

d = 7

Ainsi, l'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

-x - 3y + 2z + 7 = 0

f) Sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 :

Trouvons le vecteur directeur de la droite A1A4 et le vecteur normal du plan A1A2A3 :

A1A4 = (1 ; 2 ; 4)

n = (-15 ; 4 ; 13)

Ensuite, le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 est calculé par la formule :

péché α = |(А1А4, n)| / |А1А4|*|n|

où |(A1A4, n)| - produit scalaire des vecteurs A1A4 et n, |A1A4| et |n| - longueurs des vecteurs A1A4 et n.

Calculons les valeurs :

|(A1A4,n)| = |-15 + 8 + 52| = 25

|A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √21

|n| = √(15^2 + 4^2 + 13^2) = √370

Alors:

péché α = 25 / (√21 * √370) ≈ 0,572

g) Cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3 :

Vecteur normal pour le plan Oxy : (0 ; 0 ; 1)

Vecteur normal pour le plan A1A2A3 : (-15 ; 4 ; 13)

Ensuite, le cosinus de l'angle entre les plans est calculé par la formule :

cos α = (Okhu, A1A2A3) / |Okhu|*|A1A2A3|

où (Ohu, A1A2A3) -

Rédigez une description du produit - un produit numérique dans un magasin de produits numériques avec un beau design HTML : "IDZ Ryabushko 3.1 Option 4"

Description du produit "IDZ Ryabushko 3.1 Option 4":

Il s'agit d'un produit numérique, qui est une tâche issue d'une série de devoirs individuels (IH) en mathématiques, compilés par l'auteur Ryabushko. L'option 4 de la tâche 3.1 comprend des tâches sur la composition d'équations de plans et de lignes dans un espace tridimensionnel, le calcul des angles entre les lignes et les plans, ainsi que la preuve de la perpendiculaire des lignes.

Le devoir est présenté sous la forme d’un document HTML magnifiquement conçu qui peut être ouvert sur n’importe quel appareil ayant accès à Internet. Le document contient des tâches textuelles et des solutions étape par étape avec des commentaires détaillés pour chaque étape.

Ce produit convient à ceux qui étudient les mathématiques au niveau secondaire ou aux cours initiaux de mathématiques supérieures. La résolution de tâches vous aidera à améliorer vos compétences dans le travail avec la géométrie tridimensionnelle, ainsi qu'à améliorer vos performances à l'école ou à l'université.

Description du produit "IDZ Ryabushko 3.1 Option 4":

Ce produit est une tâche mathématique de la série « Devoirs individuels » (IH) destinée aux élèves des écoles. L'option 4 est l'une des options pour les tâches du Ryabushko IDZ 3.1.

La tâche se compose de trois nombres. Dans le premier numéro, vous devez créer des équations du plan, des lignes droites et calculer le sinus et le cosinus des angles. Dans le deuxième numéro, vous devez créer une équation pour un plan passant par un point donné et parallèle au plan Oxy. Dans le troisième problème, vous devez prouver la perpendiculaire de deux droites.

Le produit se présente sous la forme d'un document électronique au format HTML, ce qui vous permet de visualiser et de modifier facilement la tâche sur un ordinateur ou un appareil mobile. Le design est réalisé dans un style agréable et intuitif, ce qui rend l'utilisation du produit plus confortable.

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IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 est un ensemble de problèmes de géométrie, qui comprend les tâches suivantes :

1. Étant donné quatre points A1(2;4;3); A2(1;1;5); A3(4;9;3) ; A4(3;6;7). Nécessaire:

a) établir une équation du plan passant par les points A1, A2 et A3 ; b) composer une équation d'une droite passant par les points A1 et A2 ; c) créer une équation pour une droite passant par le point A4 et perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) établir l'équation d'une droite passant par le point A3 et parallèle à la droite A1A2 ; e) créer une équation pour un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 ; f) calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

1. Écrire une équation pour un plan passant par le point A(2;-3;5) et parallèle au plan Oxy.

2. Prouver que la droite .. est perpendiculaire à la droite... (les droites spécifiques et leurs équations ne sont pas indiquées dans la description disponible).

Veuillez noter que la résolution de ces problèmes nécessite des connaissances en géométrie mathématique et la capacité de travailler avec des équations de lignes et de plans dans un espace tridimensionnel.

IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 est un manuel destiné aux élèves de 3e année, créé sur la base du programme de Ryabushko. Le manuel contient des tâches et des exercices sur les mathématiques, la langue russe, le monde qui nous entoure, ainsi que la préparation aux Olympiades scolaires. Il présente des problèmes de difficulté variable, permettant aux étudiants de choisir des tâches à leur niveau et d'améliorer leurs connaissances et leurs compétences. L'option 4 diffère des autres options en ce qu'elle comprend des devoirs et des exercices qui aideront les étudiants à consolider la matière apprise et à se préparer aux tests. IDZ Ryabushko 3.1 Option 4 est un guide utile pour les élèves qui souhaitent étudier avec succès à l'école primaire.

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