IDZ 11.3 – オプション 22. ソリューション Ryabushko A.P.

1. 微分方程式の一般解を求めます。 1.22 a) y'' - 6y' + 13y = 0; b) y'' - 2y' - 15y = 0; c) y'' - 8y' = 0。

   解決策: a) 特性方程式 λ^2 - 6λ + 13 = 0 には、複素根 λ1 = 3 - 2i および λ2 = 3 + 2i があります。一般的な解は、y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x) の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。 b) 特性方程式 λ^2 - 2λ - 15 = 0 には、根 λ1 = -3 および λ2 = 5 があります。一般解は y = C1e^-3x + C2e^5x の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。 c) 特性方程式 λ^2 - 8λ = 0 には、根 λ1 = 0 および λ2 = 8 があります。一般解は、y = C1 + C2e^8x の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。

2. 微分方程式の一般解を求めます: 2.22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x。

   解決策: 特性方程式 λ^2 - 4λ + 5 = 0 には根 λ1 = 2 - i と λ2 = 2 + i があります。特定の解は、y* = Ae^-2x(sin x + bcos x) の形式で求めることができます。ここで、A と b は未知の係数です。この形式を元の方程式に代入すると、A = 4 および b = -2 がわかります。この場合、一般解は y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x) の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。

3. 微分方程式の一般解を求めます: 3.22 y'' + 4y' = 15e^x。

   解決策: 特性方程式 λ^2 + 4λ = 0 には、根 λ1 = -2i および λ2 = 2i があります。特定の解は、y* = Ax^2e^x の形式で求めることができます。ここで、A は未知の係数です。この形式を元の方程式に代入すると、A = 15/2 がわかります。この場合、一般解は y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。

4. 指定された初期条件を満たす微分方程式の特定の解を見つけます: 4.22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18、y(0) = 1、y'(0) = 0。

   解決策: 特性方程式 λ^2 + 12λ + 36 = 0 には根 λ = -6 があり、多重度は 2 です。この場合、一般的な解は y = (C1 + C2x)e^(-6x) となります。特定の解は、y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D の形式で求めることができます。ここで、A、B、C、D は未知の係数です。この形式を元の方程式に代入すると、A = 2、B = -3、C = -1、D = 1 がわかります。すると、部分解の形式は y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1 になります。最終的な解は、y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1 の形式になります。ここで、C1、C2 は任意の定数です。

5. 関数 f(x) の形式に基づいて、線形不均一微分方程式の特定の解 y* の構造を決定し、書き留めます。 5.22 y'' - 2y' - 15y = f(x); a) f(x) = 4xe^(3x); b) f(x) = x*sin(5x)。

   解決策: a) 特定の解決策は、y* = x(Axe^(3x) + B) の形式で求めることができます。ここで、A、B は未知の係数です。この形式を元の方程式に代入すると、A = 1/18 および B = -1/75 がわかります。この場合、特定の解の構造は y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75) の形式になります。 b) 特定の解は、y* = Axsinx + Bxcos5x の形式で求めることができます。ここで、A、B は未知の係数です。この形式を元の方程式に代入すると、A = -1/2 および B = 0 がわかります。すると、特定の解の構造は y* = (-1/2)xsinx の形式になります。

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最初の 3 つの問題 (1.22 a)、b)、c)) は、微分方程式の一般解を求めることで構成されます。それぞれの場合において、特性方程式とその根が与えられ、それに基づいて一般的な解が見つかります。

4 番目の問題 (4.22) は、与えられた初期条件を満たす微分方程式の特定の解を見つけることです。微分方程式の一般解が与えられた後、不定係数法を使用して特定の解が求められます。

5 番目のタスク (5.22 a)、b)) は、与えられた形式の関数 f(x) に対する線形不均一微分方程式の特定の解 y* の構造を決定し、記述することです。それぞれの場合において、特定の解のタイプと係数が与えられます。これらは不定係数の方法を使用して求められます。

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IDZ 11.3 – オプション 22. ソリューション Ryabushko A.P.は、5 つの問題で構成される微分方程式の解法集です。各問題では、与えられた初期条件で微分方程式の一般解または特定の解を見つけるか、関数 f(x) の形式に基づいて線形不均一微分方程式の特定の解の構造を決定する必要があります。

最初のタスクは 3 つのポイントで構成されており、さまざまな種類の微分方程式の一般解を見つける必要があります。 2 番目の問題も微分方程式の一般解を見つける必要がありますが、今回は不均一であり、右辺は三角関数の合計に指数を乗じたものとして与えられます。

3 番目の問題では、右辺が指数関数として与えられる微分方程式の一般解を見つける必要があります。 4 番目のタスクは、右辺が 3 次多項式の形で与えられた初期条件をもつ線形同次微分方程式の特定の解を見つけることです。

5 番目の問題も、右辺が関数 f(x) として指定された線形不均一微分方程式の特定の解を見つける必要がありますが、多項式を使用する場合と、サインと変数の積を使用する場合の 2 つのバージョンがあります。すべての問題に対する解決策は、数式エディタを使用して Microsoft Word 2003 形式で表示されます。

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