IDZ 11.3 – Opzione 22. Soluzioni Ryabushko A.P.

1. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale: 1.22 a) y'' - 6y' + 13y = 0; b) y'' - 2y' - 15y = 0; c) y'' - 8y' = 0.

   Soluzione: a) L'equazione caratteristica λ^2 - 6λ + 13 = 0 ha radici complesse λ1 = 3 - 2i e λ2 = 3 + 2i. La soluzione generale ha la forma y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x), dove C1, C2 sono costanti arbitrarie. b) L'equazione caratteristica λ^2 - 2λ - 15 = 0 ha radici λ1 = -3 e λ2 = 5. La soluzione generale ha la forma y = C1e^-3x + C2e^5x, dove C1, C2 sono costanti arbitrarie. c) L'equazione caratteristica λ^2 - 8λ = 0 ha radici λ1 = 0 e λ2 = 8. La soluzione generale ha la forma y = C1 + C2e^8x, ​​dove C1, C2 sono costanti arbitrarie.

2. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale: 2,22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x.

   Soluzione: L'equazione caratteristica λ^2 - 4λ + 5 = 0 ha radici λ1 = 2 - i e λ2 = 2 + i. Una soluzione particolare può essere ricercata nella forma y* = Ae^-2x(sin x + bcos x), dove A e b sono coefficienti sconosciuti. Sostituendo questa forma nell'equazione originale, troviamo A = 4 e b = -2. Allora la soluzione generale ha la forma y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x), dove C1, C2 sono costanti arbitrarie.

3. Trova la soluzione generale dell'equazione differenziale: 3,22 y'' + 4y' = 15e^x.

   Soluzione: L'equazione caratteristica λ^2 + 4λ = 0 ha radici λ1 = -2i e λ2 = 2i. Una soluzione particolare può essere ricercata nella forma y* = Ax^2e^x, dove A è il coefficiente incognito. Sostituendo questa forma nell'equazione originale, troviamo A = 15/2. Allora la soluzione generale ha la forma y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x, dove C1, C2 sono costanti arbitrarie.

4. Trova una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi le condizioni iniziali date: 4.22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18, y(0) = 1, y'(0) = 0.

   Soluzione: L'equazione caratteristica λ^2 + 12λ + 36 = 0 ha una radice λ = -6, che ha una molteplicità di 2. Allora la soluzione generale è y = (C1 + C2x)e^(-6x). Una soluzione particolare può essere ricercata nella forma y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D, dove A, B, C, D sono coefficienti sconosciuti. Sostituendo questa forma nell'equazione originale, troviamo A = 2, B = -3, C = -1 e D = 1. Quindi la soluzione parziale ha la forma y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1. La soluzione finale ha la forma y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1, dove C1, C2 sono costanti arbitrarie.

5. Determinare e scrivere la struttura di una particolare soluzione y* di un'equazione differenziale lineare disomogenea basata sulla forma della funzione f(x): 5.22 y'' - 2y' - 15y = f(x); a) f(x) = 4xe^(3x); b) f(x) = x*peccato(5x).

   Soluzione: a) Una soluzione particolare può essere ricercata nella forma y* = x(Ax^(3x) + B), dove A, B sono coefficienti sconosciuti. Sostituendo questa forma nell'equazione originale, troviamo A = 1/18 e B = -1/75. Allora la struttura della soluzione particolare ha la forma y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75). b) Una soluzione particolare può essere ricercata nella forma y* = Axsinx + Bxcos5x, dove A, B sono coefficienti incogniti. Sostituendo questa forma nell'equazione originale, troviamo A = -1/2 e B = 0. Quindi la struttura della soluzione particolare ha la forma y* = (-1/2)xsinx.

IDZ 11.3 – Opzione 22. Soluzioni Ryabushko A.P. è un prodotto digitale presentato in un negozio di beni digitali. Questo prodotto include soluzioni a problemi di analisi matematica, compilate dall'autore Ryabushko A.P. per l'opzione 22 dell'attività 11.3.

Il design di questo prodotto digitale è realizzato in un bellissimo formato html, che rende l'utilizzo delle soluzioni più comodo e divertente. Il prodotto include anche spiegazioni dettagliate e chiare che ti aiuteranno a comprendere i principi della risoluzione dei problemi e a formulare le tue soluzioni.

IDZ 11.3 – Opzione 22. Soluzioni Ryabushko A.P. è una scelta eccellente per studenti e insegnanti che sono coinvolti nell'analisi matematica e desiderano migliorare le proprie conoscenze e competenze in quest'area. Un tale prodotto digitale è un assistente indispensabile nella preparazione agli esami e nel superamento dei compiti.

IDZ 11.3 – Opzione 22. Soluzioni Ryabushko A.P. è un prodotto digitale presentato in un negozio di beni digitali. Questo prodotto contiene soluzioni a cinque problemi di analisi matematica, compilate dall'autore Ryabushko A.P. per l'opzione 22 dell'attività 11.3.

Le soluzioni ai problemi sono presentate sotto forma di spiegazioni dettagliate che ti aiuteranno a comprendere i principi della risoluzione delle equazioni differenziali. Ogni soluzione è progettata in un bellissimo formato html, che rende l'utilizzo delle soluzioni più comodo e divertente.

I primi tre problemi (1.22 a), b), c)) consistono nel trovare una soluzione generale dell'equazione differenziale. In ogni caso viene fornita l'equazione caratteristica e le sue radici, sulla base delle quali si trova la soluzione generale.

Il quarto problema (4.22) consiste nel trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale che soddisfi le condizioni iniziali date. Viene data la soluzione generale dell'equazione differenziale, quindi si trova una soluzione particolare utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti.

Il quinto compito (5.22 a), b)) consiste nel determinare e scrivere la struttura di una particolare soluzione y* di un'equazione differenziale lineare disomogenea per una data forma di funzione f(x). In ogni caso vengono forniti il ​​tipo di soluzione particolare ed i coefficienti, che si trovano utilizzando il metodo dei coefficienti indefiniti.

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IDZ 11.3 – Opzione 22. Soluzioni Ryabushko A.P. è una raccolta di soluzioni alle equazioni differenziali, composta da cinque problemi. Ciascun problema richiede di trovare una soluzione generale o particolare a un'equazione differenziale con determinate condizioni iniziali o di determinare la struttura di una soluzione particolare a un'equazione differenziale lineare e disomogenea basata sulla forma della funzione f(x).

Il primo compito consiste in tre punti in cui è richiesto di trovare una soluzione generale ad equazioni differenziali di vario tipo. Anche il secondo problema richiede di trovare una soluzione generale a un'equazione differenziale, ma questa volta disomogenea, con il secondo membro dato come somma di funzioni trigonometriche moltiplicate per un esponente.

Il terzo problema richiede di trovare una soluzione generale ad un'equazione differenziale con il membro di destra dato come esponenziale. Il quarto compito è trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale lineare omogenea con il secondo membro sotto forma di polinomio di terzo grado e date condizioni iniziali.

Il quinto problema richiede anche di trovare una soluzione particolare a un'equazione differenziale lineare disomogenea con il membro destro specificato come funzione f(x), ma in due versioni: con un polinomio e con il prodotto di un seno e una variabile. Le soluzioni a tutti i problemi sono presentate in formato Microsoft Word 2003 utilizzando l'editor di formule.

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