IDZ 11.3 – Option 22. Lösungen Ryabushko A.P.

1. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 1.22 a) y'' - 6y' + 13y = 0; b) y'' - 2y' - 15y = 0; c) y'' - 8y' = 0.

   Lösung: a) Die charakteristische Gleichung λ^2 - 6λ + 13 = 0 hat komplexe Wurzeln λ1 = 3 - 2i und λ2 = 3 + 2i. Die allgemeine Lösung hat die Form y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x), wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind. b) Die charakteristische Gleichung λ^2 - 2λ - 15 = 0 hat Wurzeln λ1 = -3 und λ2 = 5. Die allgemeine Lösung hat die Form y = C1e^-3x + C2e^5x, wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind. c) Die charakteristische Gleichung λ^2 - 8λ = 0 hat Wurzeln λ1 = 0 und λ2 = 8. Die allgemeine Lösung hat die Form y = C1 + C2e^8x, ​​​​wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind.

2. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 2,22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x.

   Lösung: Die charakteristische Gleichung λ^2 - 4λ + 5 = 0 hat Wurzeln λ1 = 2 - i und λ2 = 2 + i. Eine bestimmte Lösung kann in der Form y* = Ae^-2x(sin x + bcos x) gesucht werden, wobei A und b unbekannte Koeffizienten sind. Wenn wir diese Form in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, finden wir A = 4 und b = -2. Dann hat die allgemeine Lösung die Form y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x), wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind.

3. Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung: 3,22 y'' + 4y' = 15e^x.

   Lösung: Die charakteristische Gleichung λ^2 + 4λ = 0 hat Wurzeln λ1 = -2i und λ2 = 2i. Eine bestimmte Lösung kann in der Form y* = Ax^2e^x gesucht werden, wobei A der unbekannte Koeffizient ist. Wenn wir diese Form in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, finden wir A = 15/2. Dann hat die allgemeine Lösung die Form y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x, wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind.

4. Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt: 4,22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18, y(0) = 1, y'(0) = 0.

   Lösung: Die charakteristische Gleichung λ^2 + 12λ + 36 = 0 hat eine Wurzel λ = -6, die eine Multiplizität von 2 hat. Dann ist die allgemeine Lösung y = (C1 + C2x)e^(-6x). Eine bestimmte Lösung kann in der Form y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D gesucht werden, wobei A, B, C, D unbekannte Koeffizienten sind. Wenn wir diese Form in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, finden wir A = 2, B = -3, C = -1 und D = 1. Dann hat die Teillösung die Form y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1. Die endgültige Lösung hat die Form y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1, wobei C1, C2 beliebige Konstanten sind.

5. Bestimmen und notieren Sie die Struktur einer bestimmten Lösung y* einer linearen inhomogenen Differentialgleichung basierend auf der Form der Funktion f(x): 5,22 y'' - 2y' - 15y = f(x); a) f(x) = 4xe^(3x); b) f(x) = x*sin(5x).

   Lösung: a) Eine bestimmte Lösung kann in der Form y* = x(Axe^(3x) + B) gesucht werden, wobei A, B unbekannte Koeffizienten sind. Wenn wir diese Form in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, finden wir A = 1/18 und B = -1/75. Dann hat die Struktur der jeweiligen Lösung die Form y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75). b) Eine bestimmte Lösung kann in der Form y* = Axsinx + Bxcos5x gesucht werden, wobei A, B unbekannte Koeffizienten sind. Wenn wir diese Form in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, finden wir A = -1/2 und B = 0. Dann hat die Struktur der jeweiligen Lösung die Form y* = (-1/2)xsinx.

IDZ 11.3 – Option 22. Lösungen Ryabushko A.P. ist ein digitales Produkt, das in einem digitalen Warenladen präsentiert wird. Dieses Produkt enthält Lösungen für Probleme in der mathematischen Analyse, zusammengestellt vom Autor Ryabushko A.P. für Option 22 der Aufgabe 11.3.

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Problemlösungen werden in Form ausführlicher Erläuterungen präsentiert, die Ihnen helfen, die Prinzipien der Lösung von Differentialgleichungen zu verstehen. Jede Lösung ist in einem schönen HTML-Format gestaltet, was die Verwendung der Lösungen bequemer und angenehmer macht.

Die ersten drei Probleme (1.22 a), b), c)) bestehen darin, eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung zu finden. Es werden jeweils die charakteristische Gleichung und ihre Wurzeln angegeben, auf deren Grundlage die allgemeine Lösung gefunden wird.

Das vierte Problem (4.22) besteht darin, eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung zu finden, die die gegebenen Anfangsbedingungen erfüllt. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist gegeben, dann wird eine bestimmte Lösung mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten gefunden.

Die fünfte Aufgabe (5.22 a), b)) besteht darin, die Struktur einer bestimmten Lösung y* einer linearen inhomogenen Differentialgleichung für eine gegebene Funktionsform f(x) zu bestimmen und zu schreiben. Angegeben sind jeweils die Art der jeweiligen Lösung und die Koeffizienten, die mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten ermittelt werden.

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IDZ 11.3 – Option 22. Lösungen Ryabushko A.P. ist eine Sammlung von Lösungen für Differentialgleichungen, bestehend aus fünf Problemen. Für jedes Problem muss eine allgemeine oder besondere Lösung einer Differentialgleichung mit gegebenen Anfangsbedingungen gefunden oder die Struktur einer bestimmten Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung anhand der Form der Funktion f(x) bestimmt werden.

Die erste Aufgabe besteht aus drei Punkten, in denen es darum geht, eine allgemeine Lösung für Differentialgleichungen verschiedener Art zu finden. Das zweite Problem erfordert ebenfalls die Suche nach einer allgemeinen Lösung einer Differentialgleichung, diesmal jedoch inhomogen, wobei die rechte Seite als Summe trigonometrischer Funktionen multipliziert mit einem Exponenten gegeben ist.

Das dritte Problem erfordert die Suche nach einer allgemeinen Lösung für eine Differentialgleichung, deren rechte Seite als Exponentialgleichung angegeben ist. Die vierte Aufgabe besteht darin, eine bestimmte Lösung für eine lineare homogene Differentialgleichung mit der rechten Seite in Form eines Polynoms dritten Grades und gegebenen Anfangsbedingungen zu finden.

Das fünfte Problem erfordert ebenfalls das Finden einer bestimmten Lösung für eine lineare inhomogene Differentialgleichung, deren rechte Seite als Funktion f(x) angegeben ist, jedoch in zwei Versionen: mit einem Polynom und mit dem Produkt aus einem Sinus und einer Variablen. Lösungen zu allen Problemen werden mit dem Formeleditor im Microsoft Word 2003-Format präsentiert.

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