IDZ 11.3 – 选项 22。解决方案 Ryabushko A.P.

1. 求微分方程的通解： 1.22 a) y'' - 6y' + 13y = 0; b) y'' - 2y' - 15y = 0; c) y'' - 8y' = 0。

   解： a) 特征方程 λ^2 - 6λ + 13 = 0 具有复根 λ1 = 3 - 2i 和 λ2 = 3 + 2i。通解的形式为 y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x)，其中 C1、C2 是任意常数。 b) 特征方程 λ^2 - 2λ - 15 = 0 的根为 λ1 = -3 且 λ2 = 5。通解的形式为 y = C1e^-3x + C2e^5x，其中 C1、C2 为任意常数。 c) 特征方程 λ^2 - 8λ = 0 的根为 λ1 = 0 且 λ2 = 8。通解的形式为 y = C1 + C2e^8x，其中 C1、C2 是任意常数。

2. 求微分方程的通解：2.22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x。

   解： 特征方程 λ^2 - 4λ + 5 = 0 的根为 λ1 = 2 - i 和 λ2 = 2 + i。可以以 y* = Ae^-2x(sin x + bcos x) 的形式寻求特定解，其中 A 和 b 是未知系数。将此形式代入原方程，我们发现 A = 4 和 b = -2。那么通解的形式为 y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x)，其中 C1、C2 是任意常数。

3. 求微分方程的通解：3.22 y'' + 4y' = 15e^x。

   解：特征方程 λ^2 + 4λ = 0 的根为 λ1 = -2i 且 λ2 = 2i。可以以 y* = Ax^2e^x 的形式寻求特定解，其中 A 是未知系数。将此形式代入原方程，可得 A = 15/2。那么通解的形式为 y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x，其中 C1、C2 是任意常数。

4. 找到满足给定初始条件的微分方程的特定解：4.22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18, y(0) = 1, y'(0) = 0。

   解：特征方程λ^2 + 12λ + 36 = 0，根λ = -6，重数为2。则通解为y = (C1 + C2x)e^(-6x)。可以以 y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D 的形式寻求特定解，其中 A、B、C、D 是未知系数。将此形式代入原方程，我们得到 A = 2、B = -3、C = -1 和 D = 1。则部分解的形式为 y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1。最终解的形式为 y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1，其中 C1、C2 是任意常数。

5. 根据函数 f(x) 的形式，确定并写出线性非齐次微分方程的特定解 y* 的结构： 5.22 y'' - 2y' - 15y = f(x)； a) f(x) = 4xe^(3x); b) f(x) = x*sin(5x)。

   解： a) 可以以 y* = x(Axe^(3x) + B) 的形式寻求特定解，其中 A、B 是未知系数。将此形式代入原方程，我们发现 A = 1/18，B = -1/75。那么特定解的结构的形式为 y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75)。 b) 可以以 y* = Axsinx + Bxcos5x 的形式寻求特定解，其中 A、B 是未知系数。将此形式代入原方程，我们发现 A = -1/2 且 B = 0。则特定解的结构具有形式 y* = (-1/2)xsinx。

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问题的解决方案以详细解释的形式呈现，这将帮助您理解求解微分方程的原理。每个解决方案都以漂亮的html格式设计，这使得使用解决方案更加方便和愉快。

前三个问题 (1.22 a)、b)、c)) 包括寻找微分方程的通解。在每种情况下，都会给出特征方程及其根，并在此基础上找到通解。

第四个问题（4.22）是找到满足给定初始条件的微分方程的特定解。给出微分方程的通解，然后利用不定系数法求出特解。

第五个任务 (5.22 a), b)) 是确定并编写给定形式的函数 f(x) 的线性非齐次微分方程的特定解 y* 的结构。在每种情况下，都给出了特定解的类型和系数，这些系数是使用不定系数方法找到的。

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IDZ 11.3 – 选项 22。解决方案 Ryabushko A.P.是微分方程解的集合，由五个问题组成。每个问题都需要在给定的初始条件下找到微分方程的通解或特解，或者根据函数 f(x) 的形式确定线性非齐次微分方程的特解的结构。

第一个任务包括三点，要求找到各种类型微分方程的通解。第二个问题还需要找到微分方程的通解，但这次是非齐次的，右侧给出为三角函数乘以指数的总和。

第三个问题需要找到右侧以指数形式给出的微分方程的通解。第四个任务是找到右侧为三次多项式形式且给定初始条件的线性齐次微分方程的特定解。

第五个问题还需要找到线性非齐次微分方程的特定解，其右侧指定为函数 f(x)，但有两个版本：使用多项式以及使用正弦和变量的乘积。所有问题的解决方案均使用公式编辑器以 Microsoft Word 2003 格式呈现。

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