IDZ 11.3 – Option 22. Solutions Ryabushko A.P.

1. Trouver la solution générale de l'équation différentielle : 1.22 a) y'' - 6y' + 13y = 0; b) y'' - 2y' - 15y = 0 ; c) y'' - 8y' = 0.

   Solution : a) L'équation caractéristique λ^2 - 6λ + 13 = 0 a des racines complexes λ1 = 3 - 2i et λ2 = 3 + 2i. La solution générale a la forme y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x), où C1, C2 sont des constantes arbitraires. b) L'équation caractéristique λ^2 - 2λ - 15 = 0 a des racines λ1 = -3 et λ2 = 5. La solution générale a la forme y = C1e^-3x + C2e^5x, où C1, C2 sont des constantes arbitraires. c) L'équation caractéristique λ^2 - 8λ = 0 a des racines λ1 = 0 et λ2 = 8. La solution générale a la forme y = C1 + C2e^8x, ​​​​où C1, C2 sont des constantes arbitraires.

2. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle : 2,22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x.

   Solution : L'équation caractéristique λ^2 - 4λ + 5 = 0 a des racines λ1 = 2 - i et λ2 = 2 + i. Une solution particulière peut être recherchée sous la forme y* = Ae^-2x(sin x + bcos x), où A et b sont des coefficients inconnus. En substituant cette forme dans l'équation originale, nous trouvons A = 4 et b = -2. Alors la solution générale a la forme y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x), où C1, C2 sont des constantes arbitraires.

3. Trouvez la solution générale de l'équation différentielle : 3,22 y'' + 4y' = 15e^x.

   Solution : L'équation caractéristique λ^2 + 4λ = 0 a des racines λ1 = -2i et λ2 = 2i. Une solution particulière peut être recherchée sous la forme y* = Ax^2e^x, où A est le coefficient inconnu. En substituant cette forme dans l'équation originale, nous trouvons A = 15/2. Alors la solution générale a la forme y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x, où C1, C2 sont des constantes arbitraires.

4. Trouver une solution particulière à l'équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données : 4,22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18, y(0) = 1, y'(0) = 0.

   Solution : L'équation caractéristique λ^2 + 12λ + 36 = 0 a une racine λ = -6, qui a une multiplicité de 2. Alors la solution générale est y = (C1 + C2x)e^(-6x). Une solution particulière peut être recherchée sous la forme y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D, où A, B, C, D sont des coefficients inconnus. En substituant cette forme dans l'équation originale, nous trouvons A = 2, B = -3, C = -1 et D = 1. Alors la solution partielle a la forme y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1. La solution finale a la forme y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1, où C1, C2 sont des constantes arbitraires.

5. Déterminer et écrire la structure d'une solution particulière y* d'une équation différentielle inhomogène linéaire basée sur la forme de la fonction f(x) : 5,22 y'' - 2y' - 15y = f(x); une) f(x) = 4xe^(3x); b) f(x) = x*sin(5x).

   Solution : a) Une solution particulière peut être recherchée sous la forme y* = x(Axe^(3x) + B), où A, B sont des coefficients inconnus. En substituant cette forme dans l'équation originale, nous trouvons A = 1/18 et B = -1/75. Alors la structure de la solution particulière a la forme y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75). b) Une solution particulière peut être recherchée sous la forme y* = Axsinx + Bxcos5x, où A, B sont des coefficients inconnus. En substituant cette forme dans l'équation d'origine, nous trouvons A = -1/2 et B = 0. Alors la structure de la solution particulière a la forme y* = (-1/2)xsinx.

IDZ 11.3 – Option 22. Solutions Ryabushko A.P. est un produit numérique présenté dans un magasin de produits numériques. Ce produit comprend des solutions aux problèmes d'analyse mathématique, compilées par l'auteur Ryabushko A.P. pour l'option 22 de la tâche 11.3.

La conception de ce produit numérique est réalisée dans un magnifique format HTML, ce qui rend l'utilisation des solutions plus pratique et plus agréable. Le produit comprend également des explications détaillées et claires qui vous aideront à comprendre les principes de résolution de problèmes et à formuler vos propres solutions.

IDZ 11.3 – Option 22. Solutions Ryabushko A.P. est un excellent choix pour les étudiants et les enseignants impliqués dans l'analyse mathématique et souhaitant améliorer leurs connaissances et leurs compétences dans ce domaine. Un tel produit numérique est un assistant indispensable pour préparer les examens et réussir les devoirs.

IDZ 11.3 – Option 22. Solutions Ryabushko A.P. est un produit numérique présenté dans un magasin de produits numériques. Ce produit contient des solutions à cinq problèmes d'analyse mathématique, compilées par l'auteur Ryabushko A.P. pour l'option 22 de la tâche 11.3.

Les solutions aux problèmes sont présentées sous forme d'explications détaillées qui vous aideront à comprendre les principes de résolution d'équations différentielles. Chaque solution est conçue dans un magnifique format HTML, ce qui rend son utilisation plus pratique et plus agréable.

Les trois premiers problèmes (1.22 a), b), c)) consistent à trouver une solution générale à l'équation différentielle. Dans chaque cas, l'équation caractéristique et ses racines sont données, sur la base desquelles la solution générale est trouvée.

Le quatrième problème (4.22) est de trouver une solution particulière à l’équation différentielle qui satisfait les conditions initiales données. La solution générale de l'équation différentielle est donnée, puis une solution particulière est trouvée en utilisant la méthode des coefficients indéfinis.

Le cinquième problème (5.22 a), b)) est de déterminer et d’écrire la structure d’une solution particulière y* d’une équation différentielle inhomogène linéaire pour une forme donnée de fonction f(x). Dans chaque cas, le type de solution particulière et les coefficients sont donnés, qui sont trouvés à l'aide de la méthode des coefficients indéfinis.

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IDZ 11.3 – Option 22. Solutions Ryabushko A.P. est un ensemble de solutions à des équations différentielles, composé de cinq problèmes. Chaque problème nécessite de trouver une solution générale ou particulière à une équation différentielle avec des conditions initiales données ou de déterminer la structure d'une solution particulière à une équation différentielle inhomogène linéaire basée sur la forme de la fonction f(x).

La première tâche comprend trois points dans lesquels il est nécessaire de trouver une solution générale à des équations différentielles de différents types. Le deuxième problème nécessite également de trouver une solution générale à une équation différentielle, mais cette fois inhomogène, dont le membre de droite est donné comme une somme de fonctions trigonométriques multipliée par un exposant.

Le troisième problème nécessite de trouver une solution générale à une équation différentielle dont le membre de droite est donné sous forme exponentielle. La quatrième tâche consiste à trouver une solution particulière à une équation différentielle homogène linéaire dont le membre droit a la forme d'un polynôme du troisième degré et des conditions initiales données.

Le cinquième problème nécessite également de trouver une solution particulière à une équation différentielle inhomogène linéaire dont le membre droit est spécifié comme une fonction f(x), mais en deux versions : avec un polynôme et avec le produit d'un sinus et d'une variable. Les solutions à tous les problèmes sont présentées au format Microsoft Word 2003 à l'aide de l'éditeur de formules.

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