IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P.

1. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: 1.22 α) y'' - 6y' + 13y = 0; β) y'' - 2y' - 15y = 0; γ) y'' - 8y' = 0.

   Λύση: α) Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 - 6λ + 13 = 0 έχει μιγαδικές ρίζες λ1 = 3 - 2i και λ2 = 3 + 2i. Η γενική λύση έχει τη μορφή y = e^3x(C1cos2x + C2sin2x), όπου τα C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές. β) Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 - 2λ - 15 = 0 έχει ρίζες λ1 = -3 και λ2 = 5. Η γενική λύση έχει τη μορφή y = C1e^-3x + C2e^5x, όπου C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές. γ) Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 - 8λ = 0 έχει ρίζες λ1 = 0 και λ2 = 8. Η γενική λύση έχει τη μορφή y = C1 + C2e^8x, ​​όπου C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

2. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: 2,22 y'' - 4y' + 5y = (24sinx + 8cosx)e^-2x.

   Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 - 4λ + 5 = 0 έχει ρίζες λ1 = 2 - i και λ2 = 2 + i. Μια συγκεκριμένη λύση μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή y* = Ae^-2x(sin x + bcos x), όπου τα A και b είναι άγνωστοι συντελεστές. Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε A = 4 και b = -2. Τότε η γενική λύση έχει τη μορφή y = C1e^(2- i)x + C2e^(2 + i)x + 4e^-2x(sin x - 2cos x), όπου τα C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

3. Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: 3,22 y'' + 4y' = 15e^x.

   Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 + 4λ = 0 έχει ρίζες λ1 = -2i και λ2 = 2i. Μια συγκεκριμένη λύση μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή y* = Ax^2e^x, όπου Α είναι ο άγνωστος συντελεστής. Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε A = 15/2. Τότε η γενική λύση έχει τη μορφή y = C1cos(2x) + C2sin(2x) + (15/2)x^2e^x, όπου τα C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

4. Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που να ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες: 4,22 y'' + 12y' + 36y = 72x^3 - 18, y(0) = 1, y'(0) = 0.

   Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση λ^2 + 12λ + 36 = 0 έχει ρίζα λ = -6, η οποία έχει πολλαπλότητα 2. Τότε η γενική λύση είναι y = (C1 + C2x)e^(-6x). Μια συγκεκριμένη λύση μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή y*= Ax^3 + Bx^2 + Cx + D, όπου τα A, B, C, D είναι άγνωστοι συντελεστές. Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε A = 2, B = -3, C = -1 και D = 1. Τότε η μερική λύση έχει τη μορφή y* = 2x^3 - 3x^2 - x + 1. Η τελική λύση έχει τη μορφή y = (C1 + C2x)e^(-6x) + 2x^3 - 3x^2 - x + 1, όπου τα C1, C2 είναι αυθαίρετες σταθερές.

5. Να προσδιορίσετε και να καταγράψετε τη δομή μιας συγκεκριμένης λύσης y* μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης με βάση τη μορφή της συνάρτησης f(x): 5,22 y'' - 2y' - 15y = f(x); α) f(x) = 4xe^(3x); β) f(x) = x*sin(5x).

   Λύση: α) Μια συγκεκριμένη λύση μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή y* = x(Axe^(3x) + B), όπου Α, Β είναι άγνωστοι συντελεστές. Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε A = 1/18 και B = -1/75. Τότε η δομή της συγκεκριμένης λύσης έχει τη μορφή y* = x((1/18)xe^(3x) - 1/75). β) Μια συγκεκριμένη λύση μπορεί να αναζητηθεί με τη μορφή y* = Axsinx + Bxcos5x, όπου τα Α, Β είναι άγνωστοι συντελεστές. Αντικαθιστώντας αυτή τη μορφή στην αρχική εξίσωση, βρίσκουμε A = -1/2 και B = 0. Τότε η δομή της συγκεκριμένης λύσης έχει τη μορφή y* = (-1/2)xsinx.

IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν που παρουσιάζεται σε κατάστημα ψηφιακών ειδών. Αυτό το προϊόν περιλαμβάνει λύσεις σε προβλήματα στη μαθηματική ανάλυση, που συντάχθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. για την επιλογή 22 της εργασίας 11.3.

Ο σχεδιασμός αυτού του ψηφιακού προϊόντος είναι κατασκευασμένος σε μια όμορφη μορφή html, που κάνει τη χρήση των λύσεων πιο βολική και ευχάριστη. Το προϊόν περιλαμβάνει επίσης λεπτομερείς και σαφείς εξηγήσεις που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τις αρχές της επίλυσης προβλημάτων και να διαμορφώσετε τις δικές σας λύσεις.

IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές και καθηγητές που ασχολούνται με τη μαθηματική ανάλυση και θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους σε αυτόν τον τομέα. Ένα τέτοιο ψηφιακό προϊόν είναι ένας απαραίτητος βοηθός στην προετοιμασία για εξετάσεις και στην επιτυχία εργασιών.

IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι ένα ψηφιακό προϊόν που παρουσιάζεται σε κατάστημα ψηφιακών ειδών. Αυτό το προϊόν περιέχει λύσεις σε πέντε προβλήματα στη μαθηματική ανάλυση, που συντάχθηκε από τον συγγραφέα Ryabushko A.P. για την επιλογή 22 της εργασίας 11.3.

Οι λύσεις σε προβλήματα παρουσιάζονται με τη μορφή λεπτομερών επεξηγήσεων που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τις αρχές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων. Κάθε λύση έχει σχεδιαστεί σε μια όμορφη μορφή html, η οποία κάνει τη χρήση των λύσεων πιο βολική και ευχάριστη.

Τα τρία πρώτα προβλήματα (1.22 α), β), γ)) συνίστανται στην εύρεση μιας γενικής λύσης στη διαφορική εξίσωση. Σε κάθε περίπτωση δίνεται η χαρακτηριστική εξίσωση και οι ρίζες της, βάσει των οποίων βρίσκεται η γενική λύση.

Το τέταρτο πρόβλημα (4.22) είναι να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στη διαφορική εξίσωση που να ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες. Δίνεται η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης και στη συνέχεια βρίσκουμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών.

Η πέμπτη εργασία (5.22 α), β)) είναι ο προσδιορισμός και η εγγραφή της δομής μιας συγκεκριμένης λύσης y* μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης για μια δεδομένη μορφή συνάρτησης f(x). Σε κάθε περίπτωση δίνεται το είδος της συγκεκριμένης λύσης και οι συντελεστές, οι οποίοι βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών.

IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι μια εξαιρετική επιλογή για μαθητές και καθηγητές που ασχολούνται με τη μαθηματική ανάλυση και θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους σε αυτόν τον τομέα. Ένα τέτοιο ψηφιακό προϊόν είναι ένας απαραίτητος βοηθός στην προετοιμασία για εξετάσεις και στην επιτυχία εργασιών.

***

IDZ 11.3 – Επιλογή 22. Λύσεις Ryabushko A.P. είναι μια συλλογή λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις, που αποτελείται από πέντε προβλήματα. Κάθε πρόβλημα απαιτεί την εύρεση μιας γενικής ή ειδικής λύσης σε μια διαφορική εξίσωση με δεδομένες αρχικές συνθήκες ή τον προσδιορισμό της δομής μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση με βάση τη μορφή της συνάρτησης f(x).

Η πρώτη εργασία αποτελείται από τρία σημεία στα οποία απαιτείται να βρεθεί μια γενική λύση σε διαφορικές εξισώσεις διαφόρων τύπων. Το δεύτερο πρόβλημα απαιτεί επίσης την εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια διαφορική εξίσωση, αλλά αυτή τη φορά ανομοιογενή, με τη δεξιά πλευρά να δίνεται ως άθροισμα τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενη με έναν εκθέτη.

Το τρίτο πρόβλημα απαιτεί την εύρεση μιας γενικής λύσης σε μια διαφορική εξίσωση με τη δεξιά πλευρά να δίνεται ως εκθετική. Η τέταρτη εργασία είναι να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση σε μια γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση με τη δεξιά πλευρά με τη μορφή πολυωνύμου τρίτου βαθμού και δεδομένων αρχικών συνθηκών.

Το πέμπτο πρόβλημα απαιτεί επίσης την εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης σε μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση με τη δεξιά πλευρά να καθορίζεται ως συνάρτηση f(x), αλλά σε δύο εκδοχές: με ένα πολυώνυμο και με το γινόμενο ενός ημιτόνου και μιας μεταβλητής. Οι λύσεις σε όλα τα προβλήματα παρουσιάζονται σε μορφή Microsoft Word 2003 χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα επεξεργασίας τύπων.

***

1. Πολύ καλό ψηφιακό προϊόν! Λύσεις σε προβλήματα IPD 11.3 – Η επιλογή 22 είναι εξαιρετικής ποιότητας και ακρίβειας.
2. Αποφάσεις Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα το υλικό και να ολοκληρώσω με επιτυχία το IPD 11.3 – Επιλογή 22.
3. Ευχαριστούμε για ένα υπέροχο ψηφιακό προϊόν! Λύσεις σε προβλήματα IPD 11.3 – Η επιλογή 22 ήταν πολύ χρήσιμη και κατατοπιστική.
4. Αποφάσεις Ryabushko A.P. αποτελούν μια εξαιρετική πηγή για μαθητές που θέλουν να βελτιώσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στα μαθηματικά.
5. Η ποιότητα των λύσεων σε προβλήματα του IDZ 11.3 – Επιλογή 22 είναι στο υψηλότερο επίπεδο! Ευχαριστώ, Ryabushko A.P.!
6. Συνιστώ ανεπιφύλακτα αυτό το ψηφιακό προϊόν! Λύσεις σε προβλήματα IPD 11.3 – Η επιλογή 22 θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό και να ολοκληρώσετε με επιτυχία την εργασία.
7. Αποφάσεις Ryabushko A.P. είναι μια εξαιρετική πηγή για όσους θέλουν να βελτιώσουν τις μαθηματικές τους δεξιότητες και να επιτύχουν εξαιρετικά ακαδημαϊκά αποτελέσματα.

Ιδιαιτερότητες:

Αποφάσεις του IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. με βοήθησε να κατανοήσω καλύτερα την ύλη και να προετοιμαστώ για τις εξετάσεις.

Ένα σύνολο λύσεων του IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. ήταν πολύ χρήσιμη για τις σπουδές μου και με βοήθησε να βελτιώσω τις γνώσεις μου.

Αποφάσεις του IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. παρουσιάζεται σε μια βολική μορφή που σας επιτρέπει να ελέγχετε γρήγορα και εύκολα τις απαντήσεις σας.

Είμαι πολύ ευχαριστημένος με την αγορά λύσεων του IDZ 11.3 - Option 22 Ryabushko A.P., γιατί με βοήθησαν να λύσω πολλά προβλήματα.

Αποφάσεις του IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. περιέχει λεπτομερείς εξηγήσεις που βοηθούν στην καλύτερη κατανόηση του υλικού.

IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν που βοηθά τους μαθητές να μάθουν νέο υλικό.

Συνιστώ τις λύσεις του IDZ 11.3 - Επιλογή 22 Ryabushko A.P. όλους τους μαθητές που θέλουν να ανταπεξέλθουν με επιτυχία στις ακαδημαϊκές εργασίες.