I vertici ∆АВС sono dati: А(–5;2); B(0;–4); C(5;7).
Trovare:
Troviamo le coordinate del vettore AB:
AB = B - A = (0 - (-5); -4 - 2) = (5; -6)
Allora l'equazione della retta AB ha la forma:
(y - 2) / (-6) = (x + 5) / 5
O
5y + 30 = -6x - 30
O
6x + 5y + 60 = 0
Equazione dell'altezza CH:
Troviamo l'equazione di una retta passante per C e perpendicolare ad AB:
Poiché AB è data dall'equazione 6x + 5y + 60 = 0, l'equazione della retta perpendicolare ad AB ha la forma:
5h - 6u + S1 = 0,
dove C1 è un coefficiente incognito che occorre trovare sostituendo le coordinate del punto C:
5 * 5 - 6 * 7 + C1 = 0
S1 = 11
Quindi l'equazione per l'altezza del CH ha la forma:
5h - 6u + 11 = 0
L’equazione per i media è:
Troviamo le coordinate del punto M, che è il centro del lato AC:
M = ((-5 + 5) / 2; (2 + 7) / 2) = (0; 4,5)
Allora l’equazione della media AM ha la forma:
y = -9/5 * x + 13,5
Punto N di intersezione della mediana AM con l'altezza CH:
Troviamo le coordinate del punto N, intersezione della mediana AM e dell'altezza CH:
Risolviamo il sistema di equazioni:
5h - 6u + 11 = 0
y = -9/5 * x + 13,5
Sostituiamo l'equazione della seconda equazione nella prima:
5x - 6 * (-9/5 * x + 13,5) + 11 = 0
Risolvendo l'equazione otteniamo:
x = 2
u = 4
L'attuale punto di intersezione della mediana AM e l'altezza CH è uguale a N(2; 4).
Equazione di una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB:
Poiché il lato AB è dato dall'equazione 6x + 5y + 60 = 0, allora l'equazione di una retta parallela ad AB ha la forma:
6h + 5u + S2 = 0,
dove C2 è un coefficiente incognito che occorre trovare sostituendo le coordinate del punto C:
6 * 5 + 5 * 7 + S2 = 0
S2 = -65
Allora l'equazione della retta passante per il vertice C e parallela al lato AB ha la forma:
6x + 5y - 65 = 0
Distanza dal punto C alla retta AB:
La distanza dal punto C alla linea AB è uguale alla distanza dal punto C alla sua proiezione sulla linea AB. Troviamo le coordinate della proiezione del punto C sulla linea AB:
Troviamo l'equazione di una retta passante per C e perpendicolare ad AB:
Poiché AB è data dall'equazione 6x + 5y + 60 = 0, l'equazione della retta perpendicolare ad AB ha la forma:
5h - 6u + S3 = 0,
dove C3 è un coefficiente incognito che occorre trovare sostituendo le coordinate del punto C:
5 * 5 - 6 * 7 + C3 = 0
C3 = 11
Allora l'equazione di una retta passante per C e perpendicolare ad AB ha la forma:
5h - 6u + 11 = 0
Troviamo il punto di intersezione della linea passante per C e perpendicolare ad AB, e la linea AB:
Risolviamo il sistema di equazioni:
6x + 5y + 60 = 0
5h - 6u + 11 = 0
Sostituiamo l'equazione della seconda equazione nella prima:
6x + 5 * (-9/5 * x + 13,5) + 60 = 0
Risolvendo l'equazione otteniamo:
x = -1
u = 3
Allora le coordinate della proiezione del punto C sulla linea AB sono uguali a S(-1; 3).
La distanza dal punto C alla linea AB è uguale alla distanza tra i punti C e S:
d = √[(5 - (-1))^2 + (7 - 3)^2] = √[36 + 16] = √52 = 2√13
Dati due vertici del triangolo ABC: A(–6;2); ALLE 2
Questo è un prodotto digitale presentato in un negozio di beni digitali. Questo prodotto contiene soluzioni ai problemi della sezione geometrica relativa ai triangoli. In particolare, presenta la soluzione al problema n. 1.13 e al problema n. 2.13 dall'opzione 13 di IDZ 3.2.
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IDZ 3.2 № 1.13
È necessario trovare:
a) Equazione del lato AB;
b) Equazione dell'altezza del CH;
(c) AM la media equazionale;
d) Punto N di intersezione della mediana AM con la quota CH;
e) Equazione di una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB;
e) Distanza dal punto C alla retta AB.
Ci sono vertici del triangolo ∆ABC: A(–5;2); B(0;–4); C(5;7).
a) Costruisci i vettori AB e BC, quindi trova le loro coordinate:
AB = (0 - (-5), -4 - 2) = (5, -6) BC = (5 - 0, 7 - (-4)) = (5, 11)
L'equazione per il lato AB è: 5x - 6y + c = 0
Per trovare il valore della costante c, sostituiamo le coordinate del punto A: 5*(-5) - 62 + c = 0 c = 55 + 6*2 = 35
Risposta: equazione del lato AB: 5x - 6y + 35 = 0.
b) Troviamo le equazioni delle rette contenenti il lato AB e l'altezza CH passanti per il vertice C. Per fare ciò, troviamo le coordinate del punto H, intersezione dell'altezza CH e del lato AB. Innanzitutto, trova la lunghezza dei lati del triangolo:
AB = √(5^2 + (-6)^2) = √61 CA = √(10^2 + 5^2) = √125 BC = √(5^2 + 11^2) = √146
Semiperimetro del triangolo p = (AB + AC + BC) / 2 = (√61 + √125 + √146) / 2 ≈ 12.776
Area del triangolo S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC)) ≈ 30,5
L'altezza caduta dal vertice C è pari a h = 2S/AB ≈ 10
Il punto H giace sul lato AB e la distanza da esso al vertice C è uguale ad h. Ciò significa che le coordinate del punto H possono essere trovate risolvendo il sistema di equazioni:
5x - 6y + 35 = 0 5x + 11y - 35 = 0 y = 7
Sostituendo y = 7 nella prima equazione, troviamo:
x = -2
Ciò significa che le coordinate del punto H sono uguali a (-2, 7).
L'equazione dell'altezza CH ha la forma: x + 6y - 16 = 0
Risposta: Equazione dell'altezza CH: x + 6y - 16 = 0.
c) Trovare il punto medio del lato AB e le coordinate del punto M. Il punto medio del lato AB ha coordinate (x, y), dove:
x = (-5 + 0) / 2 = -2,5 y = (2 - 4) / 2 = -1
Il punto M giace sul lato AC e lo divide nel rapporto AM/MC = 1/1, cioè le coordinate del punto M si trovano risolvendo il sistema di equazioni:
5x - 6y + 35 = 0 x + y - 3 = 0
Risolvendo questo sistema otteniamo:
x = -2 y = 1
Risposta: l'equazione della mediana AM ha la forma: 5x - 6y + 35 = 0
d) Il punto di intersezione della mediana AM e dell'altezza CH può essere trovato risolvendo il sistema di equazioni per l'equazione della mediana e dell'altezza:
5x - 6y + 35 = 0 x + 6y - 16 = 0
Risolvendo questo sistema otteniamo:
x = -1 y = 3
Ciò significa che il punto di intersezione della mediana AM e l'altezza CH ha coordinate (-1, 3).
Risposta: punto N(-1, 3).
e) Una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB ha l'equazione:
5x - 6y + c = 0
Per trovare il valore della costante c, sostituiamo le coordinate del punto C: 55 - 67 + c = 0 c = 7
Risposta: l'equazione di una retta passante per il vertice C e parallela al lato AB ha la forma: 5x - 6y + 7 = 0.
e) La distanza dal punto C alla linea AB può essere trovata utilizzando la formula per la distanza dal punto alla linea:
d = |5*(-5) - 6*2 + 35| / √(5^2 + (-6)^2) ≈ 4,52
Risposta: la distanza dal punto C alla retta AB ≈ 4,52.
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