Option 13 IDZ 3.2

IDZ - 3.2 Nr. 1.13

Die Eckpunkte ∆АВС sind gegeben: А(–5;2); B(0;–4); C(5;7).

Finden:

1. Gleichung der Seite AB;
2. CH-Höhengleichung;
3. AM die Gleichungsmedien;
4. Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH;
5. Gleichung einer Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft;
6. Abstand vom Punkt C zur Geraden AB.

Antwort

1. Gleichung der Seite AB:

Finden wir die Koordinaten des Vektors AB:

AB = B - A = (0 - (-5); -4 - 2) = (5; -6)

Dann hat die Gleichung der Geraden AB die Form:

(y - 2) / (-6) = (x + 5) / 5

oder

5 Jahre + 30 = -6x - 30

oder

6x + 5y + 60 = 0

CH-Höhengleichung:

Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch C verläuft und senkrecht zu AB steht:

Da AB durch die Gleichung 6x + 5y + 60 = 0 gegeben ist, hat die Gleichung der Geraden senkrecht zu AB die Form:

5h - 6u + S1 = 0,

Dabei ist C1 ein unbekannter Koeffizient, der durch Ersetzen der Koordinaten von Punkt C ermittelt werden muss:

5 * 5 - 6 * 7 + C1 = 0

S1 = 11

Dann hat die Gleichung für die Höhe des CH die Form:

5h - 6u + 11 = 0

Die Gleichung für Medien lautet:

Suchen wir die Koordinaten des Punktes M, der die Mitte der Seite AC ist:

M = ((-5 + 5) / 2; (2 + 7) / 2) = (0; 4,5)

Dann hat die Gleichung des Mediums AM die Form:

y = -9/5 * x + 13,5

Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH:

Finden wir die Koordinaten des Punktes N, den Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH:

Lösen wir das Gleichungssystem:

5h - 6u + 11 = 0

y = -9/5 * x + 13,5

Ersetzen wir die Gleichung der zweiten Gleichung in die erste:

5x - 6 * (-9/5 * x + 13,5) + 11 = 0

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir:

x = 2

u = 4

Der aktuelle Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH ist gleich N(2; 4).

Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft:

Da die Seite AB durch die Gleichung 6x + 5y + 60 = 0 gegeben ist, hat die Gleichung einer Geraden parallel zu AB die Form:

6h + 5u + S2 = 0,

wobei C2 ein unbekannter Koeffizient ist, der durch Ersetzen der Koordinaten von Punkt C ermittelt werden muss:

6 * 5 + 5 * 7 + S2 = 0

S2 = -65

Dann hat die Gleichung der Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, die Form:

6x + 5y - 65 = 0

Abstand vom Punkt C zur Geraden AB:

Der Abstand vom Punkt C zur Geraden AB ist gleich dem Abstand vom Punkt C zu seiner Projektion auf die Gerade AB. Finden wir die Koordinaten der Projektion von Punkt C auf die Linie AB:

Finden wir die Gleichung einer Geraden, die durch C verläuft und senkrecht zu AB steht:

Da AB durch die Gleichung 6x + 5y + 60 = 0 gegeben ist, hat die Gleichung der Geraden senkrecht zu AB die Form:

5h - 6u + S3 = 0,

wobei C3 ein unbekannter Koeffizient ist, der durch Ersetzen der Koordinaten von Punkt C ermittelt werden muss:

5 * 5 - 6 * 7 + C3 = 0

C3 = 11

Dann hat die Gleichung der Geraden, die durch C und senkrecht zu AB verläuft, die Form:

5h - 6u + 11 = 0

Finden wir den Schnittpunkt der Linie, die durch C verläuft und senkrecht zu AB verläuft, und der Linie AB:

Lösen wir das Gleichungssystem:

6x + 5y + 60 = 0

5h - 6u + 11 = 0

Ersetzen wir die Gleichung der zweiten Gleichung in die erste:

6x + 5 * (-9/5 * x + 13,5) + 60 = 0

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir:

x = -1

u = 3

Dann sind die Koordinaten der Projektion des Punktes C auf die Linie AB gleich S(-1; 3).

Der Abstand vom Punkt C zur Linie AB ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten C und S:

d = √[(5 - (-1))^2 + (7 - 3)^2] = √[36 + 16] = √52 = 2√13

IDZ - 3.2 Nr. 2.13

Gegeben sind zwei Eckpunkte des Dreiecks ABC: A(–6;2); UM 2

Produktbeschreibung

Option 13 IDZ 3.2

Dabei handelt es sich um ein digitales Produkt, das in einem digitalen Warenladen präsentiert wird. Dieses Produkt enthält Lösungen für Probleme aus dem Geometriebereich im Zusammenhang mit Dreiecken. Insbesondere wird die Lösung für Problem Nr. 1.13 und Problem Nr. 2.13 aus Option 13 der IDZ 3.2 vorgestellt.

Jedes Problem enthält eine Schritt-für-Schritt-Lösung mit detaillierten Berechnungen und Antworten. Um die Anzeige und das Lesen zu erleichtern, ist der Text mit geeigneten HTML-Tags als HTML-Seite formatiert. Das schöne Seitendesign macht das Surfen noch angenehmer und bequemer.

Dieses digitale Produkt richtet sich an Studierende, die Geometrie studieren und Probleme im Zusammenhang mit Dreiecken lösen. Lösungen zu Problemen in diesem Produkt helfen Ihnen, den Stoff besser zu verstehen und sich auf Prüfungen vorzubereiten, und können auch als zusätzliches Material für das unabhängige Studium der Geometrie verwendet werden.

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IDZ 3.2 № 1.13

Ich muss finden:

a) Gleichung der Seite AB;

b) Gleichung der CH-Höhe;

(c) AM die Gleichungsmedien;

d) Punkt N des Schnittpunkts des Medians AM und der Höhe CH;

e) Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft;

e) Abstand vom Punkt C zur Geraden AB.

Es gibt Eckpunkte des Dreiecks ∆ABC: ​​​​A(–5;2); B(0;–4); C(5;7).

a) Konstruieren Sie die Vektoren AB und BC und ermitteln Sie dann ihre Koordinaten:

AB = (0 - (-5), -4 - 2) = (5, -6) BC = (5 - 0, 7 - (-4)) = (5, 11)

Die Gleichung für Seite AB lautet: 5x - 6y + c = 0

Um den Wert der Konstante c zu ermitteln, ersetzen Sie die Koordinaten von Punkt A: 5*(-5) - 62 + c = 0 c = 55 + 6*2 = 35

Antwort: Gleichung der Seite AB: 5x - 6y + 35 = 0.

b) Finden wir die Gleichungen der Geraden, die die Seite AB und die Höhe CH enthalten und durch den Scheitelpunkt C verlaufen. Dazu ermitteln wir die Koordinaten des Punktes H, dem Schnittpunkt der Höhe CH und der Seite AB. Ermitteln Sie zunächst die Länge der Seiten des Dreiecks:

AB = √(5^2 + (-6)^2) = √61 AC = √(10^2 + 5^2) = √125 BC = √(5^2 + 11^2) = √146

Halbumfang des Dreiecks p = (AB + AC + BC) / 2 = (√61 + √125 + √146) / 2 ≈ 12,776

Fläche des Dreiecks S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC)) ≈ 30,5

Die vom Scheitelpunkt C fallende Höhe ist gleich h = 2S/AB ≈ 10

Punkt H liegt auf der Seite AB und der Abstand von ihm zum Scheitelpunkt C ist gleich h. Das bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes H durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden können:

5x - 6y + 35 = 0 5x + 11y - 35 = 0 y = 7

Wenn wir y = 7 in die erste Gleichung einsetzen, finden wir:

x = -2

Dies bedeutet, dass die Koordinaten von Punkt H gleich (-2, 7) sind.

Die CH-Höhengleichung hat die Form: x + 6y - 16 = 0

Antwort: CH-Höhengleichung: x + 6y - 16 = 0.

c) Finden Sie den Mittelpunkt der Seite AB und die Koordinaten des Punktes M. Der Mittelpunkt der Seite AB hat die Koordinaten (x, y), wobei:

x = (-5 + 0) / 2 = -2,5 y = (2 - 4) / 2 = -1

Der Punkt M liegt auf der Seite AC und teilt diese im Verhältnis AM/MC = 1/1, d. h. die Koordinaten des Punktes M können durch Lösen des Gleichungssystems ermittelt werden:

5x - 6y + 35 = 0 x + y - 3 = 0

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir:

x = -2 y = 1

Antwort: Die Gleichung des Medians AM hat die Form: 5x - 6y + 35 = 0

d) Der Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH kann durch Lösen des Gleichungssystems nach der Gleichung aus Median und Höhe ermittelt werden:

5x - 6y + 35 = 0 x + 6y - 16 = 0

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir:

x = -1 y = 3

Das bedeutet, dass der Schnittpunkt des Medians AM und der Höhe CH die Koordinaten (-1, 3) hat.

Antwort: Punkt N(-1, 3).

e) Eine gerade Linie, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, hat die Gleichung:

5x - 6y + c = 0

Um den Wert der Konstante c zu ermitteln, ersetzen wir die Koordinaten des Punktes C: 55 - 67 + c = 0 c = 7

Antwort: Die Gleichung einer Geraden, die durch den Scheitelpunkt C verläuft und parallel zur Seite AB verläuft, hat die Form: 5x - 6y + 7 = 0.

f) Der Abstand vom Punkt C zur Geraden AB kann mit der Formel für den Abstand vom Punkt zur Geraden ermittelt werden:

d = |5*(-5) - 6*2 + 35| / √(5^2 + (-6)^2) ≈ 4,52

Antwort: Der Abstand vom Punkt C zur Geraden AB ≈ 4,52.

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