Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versione 10

IDZ - 3.1 N. 1.10. Dati quattro punti A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). È necessario creare equazioni:

a) equazione del piano A1A2A3; b) equazione della retta A1A2; c) equazione della retta A4M perpendicolare al piano A1A2A3; d) equazione della retta A3N parallela alla retta A1A2; e) equazione del piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2; f) calcolare il seno dell'angolo formato dalla retta A1A4 al piano A1A2A3; g) calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3.

Risposta:

a) Per compilare l'equazione del piano A1A2A3 è necessario trovare il prodotto vettoriale dei vettori $\vec{A_1A_2}$ e $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrice} = \begin{pmatrice}-5\-9\16\end{pmatrice}$$

Pertanto, l'equazione del piano A1A2A3 ha la forma:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Sostituendo le coordinate del punto A1, troviamo il valore della costante d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Pertanto, l’equazione del piano A1A2A3 è:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) L'equazione della retta A1A2 può essere scritta in forma parametrica:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) L'equazione della retta A3N può essere scritta in forma parametrica:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) L'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla linea A1A2 ha la forma:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

dove $\vec{n}$ è il vettore direzione della retta passante per i punti A1 e A2, pari a

$$\vec{n} = \begin{pmatrice}-1\-4\5\end{pmatrice}$$

Quindi l'equazione del piano desiderato ha la forma:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Sostituendo le coordinate del punto A4 troviamo il valore della costante d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Pertanto, l'equazione di un piano passante per il punto A4 e perpendicolare alla retta A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Per calcolare il seno dell'angolo compreso tra la linea A1A4 e il piano A1A2A3, è necessario trovare la proiezione del vettore $\vec{A_1A_4}$ sul vettore normale al piano A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrice}-5\-9\16\end{pmatrice}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \circa 0,919$$

g) Per calcolare il coseno dell'angolo formato dal piano delle coordinate Oxy e dal piano A1A2A3, è necessario trovare l'angolo formato dai vettori normali di questi piani:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrice}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \circa 0,784$$

N. 2.10. Scrivere un'equazione del piano in “segmenti” se passa per il punto M(6;-10;1) e seziona il segmento a=–3 sull'asse del Bue; sull'asse Oz - segmento c=2.

Risposta:

Il piano passa per il punto M(6;-10;1), quindi la sua equazione ha la forma:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Il segmento sull'asse del Bue tagliato dal piano ha lunghezza 3, quindi i punti di intersezione del piano con il Bue sono a distanza 3 l'uno dall'altro. Pertanto, le coordinate di questi punti sono -3 e 0. Allo stesso modo, i punti di intersezione del piano con Oz sono a una distanza di 2 l'uno dall'altro, quindi le loro coordinate sono 0 e 2.

Pertanto, l’equazione del piano in “segmenti” ha la forma:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

N. 3.10. A quale valore di A si trova il piano Ax + 3y– 5z + 1 = 0 parallelo alla retta passante per i punti (1;2;3) e (4;

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Affinché il piano sia parallelo alla retta passante per il punto M(x₀;y₀;z₀) ed avente vettore direzione $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, è necessario che la normale il vettore del piano è perpendicolare al vettore direzione della retta. Il vettore normale del piano ha coordinate (A; 3; -5). Pertanto, la condizione affinché un piano sia parallelo a una linea retta è scritta come:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Esprimiamo A da questa equazione:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Quindi il piano sarà parallelo ad una data retta con valore A pari a $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

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