里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 10

IDZ - 3.1 第 1.10 号。给定四个点 A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7)。有必要创建方程：

a) 平面A1A2A3的方程； b) A1A2 线方程； c) 垂直于平面A1A2A3的直线A4M方程； d) 与直线A1A2平行的直线A3N方程； e) 过点A4并垂直于直线A1A2的平面方程； f) 计算直线A1A4与平面A1A2A3之间夹角的正弦； g) 计算坐标平面Oxy与平面A1A2A3之间的夹角的余弦。

回答：

a) 要编译平面 A1A2A3 的方程，需要求向量 $\vec{A_1A_2}$ 和 $\vec{A_1A_3}$ 的向量积：

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

因此，平面 A1A2A3 的方程具有以下形式：

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

代入A1点的坐标，可得常数d的值：

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

因此，平面 A1A2A3 的方程为：

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) 直线A1A2的方程可以写成参数形式：

$$x = 6 - t，\quad y = 8 - 4t，\quad z = 2 + 5t$$

d) 直线A3N的方程可以写成参数形式：

$$x = 2 + s，\quad y = 4，\quad z = 7 - 3s$$

e) 通过点 A4 并垂直于线 A1A2 的平面方程为：

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

其中$\vec{n}$是经过点A1和A2的直线的方向向量，等于

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

那么所需平面的方程具有以下形式：

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

代入A4点的坐标，求得常数d的值：

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

因此，通过点 A4 并垂直于直线 A1A2 的平面方程为：

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) 要计算直线 A1A4 和平面 A1A2A3 之间的角度的正弦值，需要找到向量 $\vec{A_1A_4}$ 在垂直于平面 A1A2A3 的向量上的投影：

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \约 0.919$$

g) 要计算坐标平面 Oxy 与平面 A1A2A3 之间的角度的余弦，需要找到这些平面的法向量之间的角度：

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \约 0.784$$

第 2.10 号。如果平面经过点 M(6;-10;1) 并在 Ox 轴上截断线段 a=–3，请在“线段”中写出该平面的方程；在 Oz 轴上 - 线段 c=2。

回答：

该平面通过点 M(6;-10;1)，因此其方程为：

$$ax + by + cz + d = 0$$

Ox 轴上被平面截断的线段长度为 3，因此平面与 Ox 的交点彼此的距离为 3。因此，这些点的坐标为-3和0。同样，平面与Oz的交点彼此的距离为2，因此它们的坐标为0和2。

因此，“线段”中的平面方程具有以下形式：

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

第 3.10 号。在 A 的值是多少时，平面 Ax + 3y– 5z + 1 = 0 平行于通过点 (1;2;3) 和 (4;) 的直线。

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为了使平面与通过点 M(x₀;y₀;z₀) 的直线平行并具有方向向量 $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$，法线必须平面的向量垂直于直线的方向向量。平面的法向量的坐标为 (A; 3; -5)。因此，平面与直线平行的条件写为：$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$让我们用这个方程表示 A：$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$因此，该平面将与 A 值等于 $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$ 的给定直线平行。

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里亚布什科 A.P. IDZ 3.1 版本 10 是一项数学任务，其中包括多项关于编写空间中的直线和平面方程以及计算它们之间的角度的任务。该任务给定空间中的四个点，您需要创建平面方程、直线、计算角度并找到平面方程中变量的值。最后，我们会提供一位联系人来解答您的任何问题。

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