リャブシュコ A.P. IDZ 3.1 バージョン 10

IDZ-3.1 No.1.10。 4 つの点 A1(6;8;2) が与えられるとします。 A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7)。方程式を作成する必要があります。

a) 平面 A1A2A3 の方程式。 b) 直線 A1A2 の方程式。 c) 平面 A1A2A3 に垂直な直線 A4M の方程式。 d) 直線 A1A2 に平行な直線 A3N の方程式。 ｅ）点Ａ４を通り、直線Ａ１Ａ２に垂直な平面の方程式。 f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算します。 g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を計算します。

答え：

a) 平面 A1A2A3 の方程式をコンパイルするには、ベクトル $\vec{A_1A_2}$ と $\vec{A_1A_3}$ のベクトル積を見つける必要があります。

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次の形式になります。

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

点 A1 の座標を代入して、定数 d の値を求めます。

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

したがって、平面 A1A2A3 の方程式は次のようになります。

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) 直線 A1A2 の方程式はパラメトリック形式で書くことができます。

$$x = 6 - t、\quad y = 8 - 4t、\quad z = 2 + 5t$$

d) 直線 A3N の方程式はパラメトリック形式で書くことができます。

$$x = 2 + s、\quad y = 4、\quad z = 7 - 3s$$

e) 点 A4 を通り、線 A1A2 に垂直な平面の方程式は次の形式になります。

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

ここで、 $\vec{n}$ は、点 A1 と A2 を通過する線の方向ベクトルであり、

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

この場合、目的の平面の方程式は次の形式になります。

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

点 A4 の座標を代入して、定数 d の値を求めます。

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

したがって、点 A4 を通り、直線 A1A2 に垂直な平面の方程式は次のようになります。

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) 直線 A1A4 と平面 A1A2A3 の間の角度の正弦を計算するには、平面 A1A2A3 に垂直なベクトルへのベクトル $\vec{A_1A_4}$ の射影を見つける必要があります。

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \約 0.919$$

g) 座標平面 Oxy と平面 A1A2A3 の間の角度の余弦を計算するには、これらの平面の法線ベクトルの間の角度を見つける必要があります。

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{オキシ}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{オキシ}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \約 0.784$$

2.10号。平面が点 M(6;-10;1) を通過し、Ox 軸上の線分 a=–3 を切り取る場合、その平面の方程式を「線分」で書きます。オズ軸上 - セグメント c=2。

答え：

平面は点 M(6;-10;1) を通過するため、その方程式は次の形式になります。

$$ax + by + cz + d = 0$$

平面で切り取られた Ox 軸上の線分の長さは 3 なので、平面と Ox の交点は互いに距離 3 になります。したがって、これらの点の座標は -3 と 0 になります。同様に、平面と Oz の交点は互いに距離 2 にあるため、それらの座標は 0 と 2 になります。

したがって、「セグメント」の平面の方程式は次の形式になります。

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

3.10番です。 A の値は何ですか。点 (1;2;3) と (4;

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平面が点 M(x₀;y₀;z₀) を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$ を持つ線と平行になるためには、法線が平面のベクトルは、線の方向ベクトルに垂直である必要があります。平面の法線ベクトルの座標は (A; 3; -5) です。したがって、平面が直線に平行であるための条件は次のように表されます:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$この式から A を表してみましょう:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$したがって、平面は、$\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$ に等しい A の値を持つ特定の直線に平行になります。

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