Ryabushko A.P. IDZ 3.1 έκδοση 10

Κατεβάστε Καθρέφτης

IDZ - 3.1 Νο. 1.10. Δίνονται τέσσερις βαθμοί A1(6;8;2); Α2(5;4;7); Α3(2;4;7); Α4(7;3;7). Είναι απαραίτητο να δημιουργηθούν εξισώσεις:

α) εξίσωση του επιπέδου A1A2A3. β) εξίσωση της γραμμής A1A2. γ) εξίσωση ευθείας γραμμής A4M κάθετης στο επίπεδο A1A2A3. δ) εξίσωση ευθείας γραμμής A3N παράλληλη προς την ευθεία A1A2. ε) εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Α4 και είναι κάθετο στην ευθεία Α1Α2. στ) να υπολογίσετε το ημίτονο της γωνίας μεταξύ της ευθείας γραμμής A1A4 και του επιπέδου A1A2A3. ζ) να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του επιπέδου συντεταγμένων Oxy και του επιπέδου A1A2A3.

Απάντηση:

α) Για να συντάξουμε την εξίσωση του επιπέδου A1A2A3, είναι απαραίτητο να βρούμε το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων $\vec{A_1A_2}$ και $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου A1A2A3 έχει τη μορφή:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Α1, βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου A1A2A3 είναι:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

β) Η εξίσωση της ευθείας Α1Α2 μπορεί να γραφτεί σε παραμετρική μορφή:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

δ) Η εξίσωση της ευθείας γραμμής Α3Ν μπορεί να γραφτεί σε παραμετρική μορφή:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

ε) Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Α4 και είναι κάθετο στην ευθεία Α1Α2 έχει τη μορφή:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

όπου $\vec{n}$ είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A1 και A2, ίσο με

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Τότε η εξίσωση του επιθυμητού επιπέδου έχει τη μορφή:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες του σημείου Α4, βρίσκουμε την τιμή της σταθεράς d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Έτσι, η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Α4 και είναι κάθετο στην ευθεία Α1Α2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

στ) Για να υπολογιστεί το ημίτονο της γωνίας μεταξύ της ευθείας A1A4 και του επιπέδου A1A2A3, είναι απαραίτητο να βρεθεί η προβολή του διανύσματος $\vec{A_1A_4}$ στο κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \περίπου 0,919$$

ζ) Για τον υπολογισμό του συνημίτονος της γωνίας μεταξύ του επιπέδου συντεταγμένων Oxy και του επιπέδου A1A2A3, είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων αυτών των επιπέδων:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \περίπου 0,784$$

Νο 2.10. Γράψτε μια εξίσωση του επιπέδου σε «τμήματα» εάν διέρχεται από το σημείο M(6;-10;1) και αποκόψει το τμήμα a=–3 στον άξονα Ox. στον άξονα Oz - τμήμα c=2.

Απάντηση:

Το επίπεδο διέρχεται από το σημείο M(6;-10;1), οπότε η εξίσωσή του έχει τη μορφή:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Το τμήμα στον άξονα Ox που αποκόπτεται από το επίπεδο έχει μήκος 3, επομένως τα σημεία τομής του επιπέδου με το Ox βρίσκονται σε απόσταση 3 μεταξύ τους. Έτσι, οι συντεταγμένες αυτών των σημείων είναι -3 και 0. Ομοίως, τα σημεία τομής του επιπέδου με το Oz βρίσκονται σε απόσταση 2 μεταξύ τους, άρα οι συντεταγμένες τους είναι 0 και 2.

Έτσι, η εξίσωση του επιπέδου σε «τμήματα» έχει τη μορφή:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Νο. 3.10. Σε ποια τιμή του A είναι το επίπεδο Ax + 3y– 5z + 1 = 0 παράλληλο προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (1;2;3) και (4;

Το ψηφιακό προϊόν "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 έκδοση 10" είναι ένα εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συγκρότημα που προορίζεται για μαθητές που μελετούν τη γραμμική άλγεβρα και τη γεωμετρία ως μέρος του προγράμματος σπουδών τους. Το σύμπλεγμα περιέχει λύσεις σε προβλήματα σχετικά με το θέμα "Εξισώσεις επιπέδων και γραμμών στο διάστημα", που διατυπώθηκαν στην επιλογή 10.

Το συγκρότημα παρουσιάζεται με τη μορφή ηλεκτρονικού εγγράφου που μπορείτε να το κατεβάσετε από το κατάστημα ψηφιακών ειδών. Το έγγραφο έχει σχεδιαστεί σε μια όμορφη μορφή HTML, η οποία παρέχει μια βολική και ελκυστική οπτική διεπαφή για τον χρήστη.

Το συγκρότημα παρουσιάζει λεπτομερείς λύσεις σε προβλήματα που θα επιτρέψουν στους μαθητές να κατακτήσουν εύκολα το θέμα και να αυξήσουν το επίπεδο γνώσεών τους στη γραμμική άλγεβρα και τη γεωμετρία. Οι λύσεις στα προβλήματα συνοδεύονται από επεξηγήσεις βήμα προς βήμα και γραφικές απεικονίσεις, γεγονός που καθιστά τη μελέτη του θέματος πιο κατανοητή και οπτική.

Το ψηφιακό προϊόν "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 έκδοση 10" είναι ένας απαραίτητος βοηθός για μαθητές που μελετούν γραμμική άλγεβρα και γεωμετρία, καθώς και για καθηγητές που μπορούν να το χρησιμοποιήσουν ως πρόσθετο εκπαιδευτικό υλικό.

Για να είναι το επίπεδο παράλληλο προς την ευθεία που διέρχεται από το σημείο M(x₀;y0;z0) και να έχει διάνυσμα κατεύθυνσης $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, είναι απαραίτητο η κανονική διάνυσμα του επιπέδου να είναι κάθετο στο διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας . Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου έχει συντεταγμένες (A; 3; -5). Έτσι, η συνθήκη για ένα επίπεδο να είναι παράλληλο σε μια ευθεία γράφεται ως:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Ας εκφράσουμε το A από αυτήν την εξίσωση:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Έτσι, το επίπεδο θα είναι παράλληλο μιας δεδομένης ευθείας με τιμή A ίση με $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. Το IDZ 3.1 έκδοση 10 είναι μια μαθηματική εργασία που περιλαμβάνει διάφορες εργασίες για τη σύνθεση εξισώσεων γραμμών και επιπέδων στο χώρο, καθώς και τον υπολογισμό των γωνιών μεταξύ τους. Η εργασία δίνεται σε τέσσερα σημεία στο χώρο και πρέπει να δημιουργήσετε εξισώσεις του επιπέδου, ευθείες γραμμές, να υπολογίσετε τις γωνίες και να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών στην εξίσωση του επιπέδου. Στο τέλος παρέχεται άτομο επικοινωνίας για όποια απορία έχετε.

***

Ryabushko A.P. Το IDZ 3.1 έκδοση 10 είναι ένα εξαιρετικό ψηφιακό προϊόν για μαθητές και μαθητές γυμνασίου.
Αυτό το IDL θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα το υλικό της πληροφορικής και να βελτιώσετε τις γνώσεις σας.
Χάρη στην IDZ 3.1 έκδοση 10 από την Ryabushko A.P., μπορείτε εύκολα να προετοιμαστείτε για εξετάσεις ή τεστ στην επιστήμη των υπολογιστών.
Η επίλυση προβλημάτων στην IPD 3.1 έκδοση 10 θα σας βοηθήσει να ενοποιήσετε το θεωρητικό υλικό και να θυμάστε καλύτερα τις βασικές έννοιες.
Το IDS 3.1 έκδοση 10 διαφέρει από τα άλλα προϊόντα ψηφιακής επιστήμης των υπολογιστών ως προς την προσβασιμότητα και την κατανόηση του.
Αυτό το προϊόν είναι τέλειο για όσους μαθαίνουν την επιστήμη των υπολογιστών μόνοι τους ή χρειάζονται επιπλέον βοήθεια με τις σπουδές τους.
Ryabushko A.P. Το IDS 3.1 έκδοση 10 είναι μια αξιόπιστη και αποδεδειγμένη πηγή πληροφοριών για την επιστήμη των υπολογιστών.