Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10

ИДЗ - 3.1 №1.10. Даны четыре точки А1(6;8;2); А2(5;4;7); А3(2;4;7); А4(7;3;7). Необходимо составить уравнения:

а) уравнение плоскости А1А2А3; б) уравнение прямой А1А2; в) уравнение прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3; г) уравнение прямой А3N, параллельной прямой А1А2; д) уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1А2; е) вычислить синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3; ж) вычислить косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

Решение:

а) Для составления уравнения плоскости А1А2А3 необходимо найти векторное произведение векторов $\vec{A_1A_2}$ и $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Таким образом, уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Подставив координаты точки А1, найдем значение константы d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Таким образом, уравнение плоскости А1А2А3:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

б) Уравнение прямой А1А2 можно записать в параметрической форме:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

г) Уравнение прямой А3N можно записать в параметрической форме:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1А2, имеет вид:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

где $\vec{n}$ - направляющий вектор прямой, проходящей через точки А1 и А2, равен

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Подставив координаты точки А4, найдем значение константы d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку А4 и перпендикулярной к прямой А1А2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

е) Для вычисления синуса угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3 необходимо найти проекцию вектора $\vec{A_1A_4}$ на вектор, нормальный к плоскости А1А2А3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \approx 0.919$$

ж) Для вычисления косинуса угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3 необходимо найти угол между нормальными векторами этих плоскостей:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \approx 0.784$$

№2.10. Составить уравнение плоскости в «отрезках», если она проходит через точку М(6;-10;1) и отсекает на оси Ox отрезок а=–3; на оси Oz - отрезок с=2.

Решение:

Плоскость проходит через точку М(6;-10;1), поэтому ее уравнение имеет вид:

$$ax + by + cz + d = 0$$

Отрезок на оси Ox, отсекаемый плоскостью, имеет длину 3, поэтому точки пересечения плоскости с Ox находятся на расстоянии 3 друг от друга. Таким образом, координаты этих точек равны -3 и 0. Аналогично, точки пересечения плоскости с Oz находятся на расстоянии 2 друг от друга, поэтому их координаты равны 0 и 2.

Таким образом, уравнение плоскости в «отрезках» имеет вид:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

№3.10. При каком значении А плоскость Ax + 3y– 5z + 1 = 0 параллельна прямой, проходящей через точки (1;2;3) и (4;

Цифровой товар "Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10" - это учебно-методический комплекс, предназначенный для студентов и учащихся, изучающих линейную алгебру и геометрию в рамках своей учебной программы. Комплекс содержит решения задач по теме "Уравнения плоскостей и прямых в пространстве", сформулированных в варианте 10.

Комплекс представлен в виде электронного документа, который можно скачать в магазине цифровых товаров. Оформление документа выполнено в красивом HTML-формате, что обеспечивает удобный и привлекательный визуальный интерфейс для пользователя.

В комплексе представлены подробные решения задач, которые позволят студентам и учащимся легко освоить тему и повысить свой уровень знаний в линейной алгебре и геометрии. Решения задач сопровождаются пошаговыми объяснениями и графическими иллюстрациями, что делает изучение темы более понятным и наглядным.

Цифровой товар "Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10" является незаменимым помощником для студентов и учащихся, которые изучают линейную алгебру и геометрию, а также для преподавателей, которые могут использовать его в качестве дополнительного учебного материала.

Для того чтобы плоскость была параллельна прямой, проходящей через точку М(x₀;y₀;z₀) и имеющей направляющий вектор $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, необходимо, чтобы вектор нормали плоскости был перпендикулярен вектору направления прямой. Вектор нормали плоскости имеет координаты (A; 3; -5). Таким образом, условие параллельности плоскости прямой записывается в виде:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Выразим из этого уравнения A:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$$Таким образом, плоскость будет параллельна данной прямой при значении A, равном $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10 - это задание по математике, которое включает в себя несколько задач на составление уравнений прямых и плоскостей в пространстве, а также на вычисление углов между ними. В задании даны четыре точки в пространстве и нужно составить уравнения плоскости, прямых, вычислить углы и найти значения переменных в уравнении плоскости. В конце дано контактное лицо для возможных вопросов.

***

Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10 - отличный цифровой товар для студентов и учащихся средней школы.
Этот ИДЗ поможет вам лучше понять материал по информатике и повысить свои знания.
Благодаря ИДЗ 3.1 вариант 10 от Рябушко А.П., вы сможете легко подготовиться к экзамену или тесту по информатике.
Решение задач в ИДЗ 3.1 вариант 10 поможет вам закрепить теоретический материал и лучше запомнить ключевые понятия.
ИДЗ 3.1 вариант 10 отличается от других цифровых товаров по информатике своей доступностью и понятностью.
Этот продукт отлично подойдет тем, кто изучает информатику самостоятельно или нуждается в дополнительной помощи в учебе.
Рябушко А.П. ИДЗ 3.1 вариант 10 - это надежный и проверенный источник информации по информатике.