Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 10

IDZ - 3.1 No. 1.10. Dados cuatro puntos A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Es necesario crear ecuaciones:

a) ecuación del plano A1A2A3; b) ecuación de la línea A1A2; c) ecuación de la recta A4M perpendicular al plano A1A2A3; d) ecuación de la recta A3N paralela a la recta A1A2; e) ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2; f) calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3; g) calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3.

Respuesta:

a) Para compilar la ecuación del plano A1A2A3, es necesario encontrar el producto vectorial de los vectores $\vec{A_1A_2}$ y $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Así, la ecuación del plano A1A2A3 tiene la forma:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Sustituyendo las coordenadas del punto A1, encontramos el valor de la constante d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Así, la ecuación del plano A1A2A3 es:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) La ecuación de la recta A1A2 se puede escribir en forma paramétrica:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) La ecuación de la recta A3N se puede escribir en forma paramétrica:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) La ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2 tiene la forma:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

donde $\vec{n}$ es el vector director de la recta que pasa por los puntos A1 y A2, igual a

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Entonces la ecuación del plano deseado tiene la forma:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Sustituyendo las coordenadas del punto A4, encontramos el valor de la constante d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Así, la ecuación de un plano que pasa por el punto A4 y es perpendicular a la recta A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Para calcular el seno del ángulo entre la recta A1A4 y el plano A1A2A3, es necesario encontrar la proyección del vector $\vec{A_1A_4}$ sobre el vector normal al plano A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \aproximadamente 0,919$$

g) Para calcular el coseno del ángulo entre el plano coordenado Oxy y el plano A1A2A3, es necesario encontrar el ángulo entre los vectores normales de estos planos:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatriz}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \aproximadamente 0,784$$

N° 2.10. Escribe una ecuación para el plano en “segmentos” si pasa por el punto M(6;-10;1) y corta el segmento a=–3 en el eje Ox; en el eje Oz - segmento c=2.

Respuesta:

El avión pasa por el punto M(6;-10;1), por lo que su ecuación tiene la forma:

$$ax + por + cz + d = 0$$

El segmento en el eje Ox cortado por el avión tiene una longitud de 3, por lo que los puntos de intersección del plano con Ox están a una distancia de 3 entre sí. Por tanto, las coordenadas de estos puntos son -3 y 0. De manera similar, los puntos de intersección del plano con Oz están a una distancia de 2 entre sí, por lo que sus coordenadas son 0 y 2.

Así, la ecuación del plano en “segmentos” tiene la forma:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

N° 3.10. ¿A qué valor de A es el plano Ax + 3y– 5z + 1 = 0 paralelo a la recta que pasa por los puntos (1;2;3) y (4;

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Para que el plano sea paralelo a la recta que pasa por el punto M(x₀;y₀;z₀) y que tenga un vector director $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, es necesario que la normal el vector del plano sea perpendicular al vector director de la recta. El vector normal del avión tiene coordenadas (A; 3; -5). Así, la condición para que un plano sea paralelo a una recta se escribe como:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Expresemos A a partir de esta ecuación:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Así, el plano será paralelo a una recta dada con un valor de A igual a $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versión 10 es una tarea de matemáticas que incluye varias tareas sobre cómo componer ecuaciones de líneas y planos en el espacio, así como también calcular ángulos entre ellos. La tarea consiste en cuatro puntos en el espacio y debes crear ecuaciones del plano, líneas rectas, calcular ángulos y encontrar los valores de las variables en la ecuación del plano. Al final se proporciona una persona de contacto para cualquier pregunta que pueda tener.

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