Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 10

IDZ - 3.1 č. 1.10. Jsou dány čtyři body A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Je nutné vytvořit rovnice:

a) rovnice roviny A1A2A3; b) rovnice přímky A1A2; c) rovnice přímky A4M kolmé k rovině A1A2A3; d) rovnice přímky A3N rovnoběžné s přímkou A1A2; e) rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2; f) vypočítat sinus úhlu mezi přímkou A1A4 a rovinou A1A2A3; g) vypočítejte kosinus úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3.

Odpovědět:

a) Pro sestavení rovnice roviny A1A2A3 je nutné najít vektorový součin vektorů $\vec{A_1A_2}$ a $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Rovnice roviny A1A2A3 má tedy tvar:

$$-5x – 9 let + 16z + d = 0 $$

Dosazením souřadnic bodu A1 zjistíme hodnotu konstanty d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55 $$

Rovnice roviny A1A2A3 je tedy:

$$-5x – 9 let + 16z + 55 = 0 $$

b) Rovnici přímky A1A2 lze zapsat v parametrickém tvaru:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t $$

d) Rovnici přímky A3N lze zapsat v parametrickém tvaru:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) Rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2 má tvar:

$$\věc{n} \cdot (\věc{r} - \vec{A_4}) = 0$$

kde $\vec{n}$ je směrový vektor přímky procházející body A1 a A2, rovný

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Pak rovnice požadované roviny má tvar:

$$-x - 4y + 5z + d = 0 $$

Dosazením souřadnic bodu A4 zjistíme hodnotu konstanty d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Tedy rovnice roviny procházející bodem A4 a kolmé k přímce A1A2:

$$-x – 4y + 5z – 16 = 0 $$

f) Pro výpočet sinusu úhlu mezi přímkou A1A4 a rovinou A1A2A3 je nutné najít průmět vektoru $\vec{A_1A_4}$ na vektor kolmice k rovině A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \cca 0,919 $$

g) Pro výpočet kosinusu úhlu mezi rovinou souřadnic Oxy a rovinou A1A2A3 je nutné najít úhel mezi normálovými vektory těchto rovin:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \cca 0,784 $$

Č. 2.10. Napište rovnici roviny v „segmentech“, pokud prochází bodem M(6;-10;1) a ořízne segment a=–3 na ose Ox; na ose Oz - segment c=2.

Odpovědět:

Rovina prochází bodem M(6;-10;1), takže její rovnice má tvar:

$$ax + o + cz + d = 0$$

Úsek na ose Ox odříznutý rovinou má délku 3, takže průsečíky roviny s Ox jsou ve vzdálenosti 3 od sebe. Souřadnice těchto bodů jsou tedy -3 a 0. Podobně jsou průsečíky roviny s Oz ve vzdálenosti 2 od sebe, jejich souřadnice jsou tedy 0 a 2.

Rovnice roviny v „segmentech“ má tedy tvar:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0 $$

Č. 3.10. Při jaké hodnotě A je rovina Ax + 3y– 5z + 1 = 0 rovnoběžná s přímkou procházející body (1;2;3) a (4;

Digitální produkt "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 10" je vzdělávací a metodický komplex určený pro studenty studující lineární algebru a geometrii jako součást jejich osnov. Komplex obsahuje řešení úloh na téma "Rovnice rovin a přímek v prostoru", formulované v možnosti 10.

Komplex je prezentován ve formě elektronického dokumentu, který lze stáhnout z obchodu s digitálním zbožím. Dokument je navržen v krásném formátu HTML, který poskytuje pohodlné a atraktivní vizuální rozhraní pro uživatele.

Komplex představuje podrobná řešení problémů, která studentům umožní snadno zvládnout dané téma a zvýšit úroveň znalostí v lineární algebře a geometrii. Řešení problémů jsou doplněna podrobnými vysvětleními a grafickými ilustracemi, díky čemuž je studium tématu srozumitelnější a názornější.

Digitální produkt "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 10" je nepostradatelným pomocníkem pro studenty, kteří studují lineární algebru a geometrii, a také pro učitele, kteří jej mohou použít jako doplňkový vzdělávací materiál.

Aby rovina byla rovnoběžná s přímkou procházející bodem M(x₀;y₀;z₀) a měla směrový vektor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, je nutné, aby normál vektor roviny být kolmý na směrový vektor přímky. Normálový vektor roviny má souřadnice (A; 3; -5). Tedy podmínka, aby rovina byla rovnoběžná s přímkou, je zapsána takto:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Vyjádřeme A z této rovnice:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$ Rovina tedy bude rovnoběžná s danou přímkou s hodnotou A rovnou $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 10 je matematická úloha, která zahrnuje několik úloh týkajících se sestavování rovnic přímek a rovin v prostoru a také výpočtu úhlů mezi nimi. Úkol má čtyři body v prostoru a je třeba vytvořit rovnice roviny, přímky, vypočítat úhly a najít hodnoty proměnných v rovnici roviny. Na konci je uvedena kontaktní osoba pro případné dotazy.

***

Ryabushko A.P. IDZ 3.1 verze 10 je vynikající digitální produkt pro studenty a studenty středních škol.
Tento IDL vám pomůže lépe porozumět materiálu počítačové vědy a zlepšit vaše znalosti.
Díky IDZ 3.1 verze 10 od Ryabushko A.P. se můžete snadno připravit na zkoušku nebo test z informatiky.
Řešení problémů v IPD 3.1 verze 10 vám pomůže upevnit teoretický materiál a lépe si zapamatovat klíčové pojmy.
IDS 3.1 verze 10 se od ostatních produktů digitální informatiky liší svou přístupností a srozumitelností.
Tento produkt je ideální pro ty, kteří se sami učí informatiku nebo potřebují další pomoc při studiu.
Ryabushko A.P. IDS 3.1 verze 10 je spolehlivým a ověřeným zdrojem informací o informatice.