Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 10

IDZ - 3.1 nº 1.10. Dados quatro pontos A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). É necessário criar equações:

a) equação do plano A1A2A3; b) equação da reta A1A2; c) equação da reta A4M perpendicular ao plano A1A2A3; d) equação da reta A3N paralela à reta A1A2; e) equação de um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2; f) calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3; g) calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3.

Responder:

a) Para compilar a equação do plano A1A2A3, é necessário encontrar o produto vetorial dos vetores $\vec{A_1A_2}$ e $\vec{A_1A_3}$:

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatriz}2-6\4-8\7-2\end{pmatriz} = \begin{pmatriz}-4\-4\5\end{pmatriz}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatriz} = \begin{pmatriz}-5\-9\16\end{pmatriz}$$

Assim, a equação do plano A1A2A3 tem a forma:

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

Substituindo as coordenadas do ponto A1, encontramos o valor da constante d:

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Assim, a equação do plano A1A2A3 é:

$$-5x - 9y + 16z + 55 = 0$$

b) A equação da reta A1A2 pode ser escrita na forma paramétrica:

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) A equação da reta A3N pode ser escrita na forma paramétrica:

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) A equação de um plano que passa pelo ponto A4 e perpendicular à reta A1A2 tem a forma:

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

onde $\vec{n}$ é o vetor diretor da reta que passa pelos pontos A1 e A2, igual a

$$\vec{n} = \begin{pmatriz}-1\-4\5\end{pmatriz}$$

Então a equação do plano desejado tem a forma:

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

Substituindo as coordenadas do ponto A4, encontramos o valor da constante d:

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Assim, a equação de um plano que passa pelo ponto A4 e é perpendicular à reta A1A2:

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Para calcular o seno do ângulo entre a reta A1A4 e o plano A1A2A3, é necessário encontrar a projeção do vetor $\vec{A_1A_4}$ no vetor normal ao plano A1A2A3:

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatriz}-5\-9\16\end{pmatriz}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \aproximadamente 0,919$$

g) Para calcular o cosseno do ângulo entre o plano coordenado Oxy e o plano A1A2A3, é necessário encontrar o ângulo entre os vetores normais desses planos:

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{matriz}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \aproximadamente 0,784$$

Nº 2.10. Escreva uma equação do plano em “segmentos” se ele passa pelo ponto M(6;-10;1) e corta o segmento a=–3 no eixo do Boi; no eixo Oz - segmento c=2.

Responder:

O plano passa pelo ponto M(6;-10;1), então sua equação tem a forma:

$$ax + por + cz + d = 0$$

O segmento do eixo do Boi cortado pelo plano tem comprimento 3, então os pontos de intersecção do plano com o Boi estão a uma distância de 3 um do outro. Assim, as coordenadas desses pontos são -3 e 0. Da mesma forma, os pontos de intersecção do plano com Oz estão a uma distância de 2 um do outro, portanto suas coordenadas são 0 e 2.

Assim, a equação do plano em “segmentos” tem a forma:

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

Nº 3.10. Em que valor de A está o plano Ax + 3y– 5z + 1 = 0 paralelo à reta que passa pelos pontos (1;2;3) e (4;

O produto digital "Ryabushko A.P. IDZ 3.1 versão 10" é um complexo educacional e metodológico destinado a alunos que estudam álgebra linear e geometria como parte de seu currículo. O complexo contém soluções para problemas do tema “Equações de planos e retas no espaço”, formulado na opção 10.

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Para que o plano seja paralelo à reta que passa pelo ponto M(x₀;y₀;z₀) e tenha vetor diretor $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, é necessário que a normal vetor do plano seja perpendicular ao vetor de direção da reta. O vetor normal do plano possui coordenadas (A; 3; -5). Assim, a condição para um plano ser paralelo a uma linha reta é escrita como:$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Vamos expressar A a partir desta equação:$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Assim, o plano será paralelo a uma determinada reta com valor de A igual a $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

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