Ryabushko A.P. IDZ3.1 version 10

IDZ - 3.1 n° 1.10. Étant donné quatre points A1(6;8;2); A2(5;4;7); A3(2;4;7); A4(7;3;7). Il faut créer des équations :

a) équation du plan A1A2A3 ; b) équation de la droite A1A2 ; c) équation de la droite A4M perpendiculaire au plan A1A2A3 ; d) équation de la droite A3N parallèle à la droite A1A2 ; e) équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 ; f) calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3 ; g) calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3.

Répondre:

a) Pour compiler l'équation du plan A1A2A3, il faut trouver le produit vectoriel des vecteurs $\vec{A_1A_2}$ et $\vec{A_1A_3}$ :

$$\vec{A_1A_2} = \begin{pmatrix}5-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}, \quad \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}2-6\4-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\-4\5\end{pmatrix}$$

$$\vec{n} = \vec{A_1A_2} \times \vec{A_1A_3} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\-4 \5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

Ainsi, l'équation du plan A1A2A3 a la forme :

$$-5x - 9y + 16z + d = 0$$

En substituant les coordonnées du point A1, on retrouve la valeur de la constante d :

$$-5\cdot6 - 9\cdot8 + 16\cdot2 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = 55$$

Ainsi, l’équation du plan A1A2A3 est :

$$-5x - 9a + 16z + 55 = 0$$

b) L'équation de la droite A1A2 peut s'écrire sous forme paramétrique :

$$x = 6 - t, \quad y = 8 - 4t, \quad z = 2 + 5t$$

d) L'équation de la droite A3N peut s'écrire sous forme paramétrique :

$$x = 2 + s, \quad y = 4, \quad z = 7 - 3s$$

e) L'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 a la forme :

$$\vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{A_4}) = 0$$

où $\vec{n}$ est le vecteur directeur de la droite passant par les points A1 et A2, égal à

$$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1\-4\5\end{pmatrix}$$

Alors l’équation du plan recherché a la forme :

$$-x - 4y + 5z + d = 0$$

En substituant les coordonnées du point A4, on retrouve la valeur de la constante d :

$$-7 - 12 + 35 +d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -16$$

Ainsi, l'équation d'un plan passant par le point A4 et perpendiculaire à la droite A1A2 :

$$-x - 4y + 5z - 16 = 0$$

f) Pour calculer le sinus de l'angle entre la droite A1A4 et le plan A1A2A3, il faut trouver la projection du vecteur $\vec{A_1A_4}$ sur le vecteur normal au plan A1A2A3 :

$$\vec{A_1A_4} = \begin{pmatrix}7-6\3-8\7-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\-5\5\end{pmatrix}, \quad \ vec{n} = \begin{pmatrix}-5\-9\16\end{pmatrix}$$

$$\sin \alpha = \frac{|\vec{A_1A_4} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(1)\cdot(-5) + (-5)\cdot(-9) + (5)\cdot(16)|}{\sqrt{ 1^2 + (-5)^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \environ 0,919$$

g) Pour calculer le cosinus de l'angle entre le plan de coordonnées Oxy et le plan A1A2A3, il faut trouver l'angle entre les vecteurs normaux de ces plans :

$$\vec{n_{Oxy}} = \begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_{A1A2A3}} = \begin{pmatrix}-5\-9\16 \end{pmatrix}$$

$$\cos \beta = \frac{\vec{n_{Oxy}} \cdot \vec{n_{A1A2A3}}}{|\vec{n_{Oxy}}| \cdot |\vec{n_{A1A2A3}}|} = \frac{(0)\cdot(-5) + (0)\cdot(-9) + (1)\cdot(16)}{\sqrt{ 0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-9)^2 + 16^2}} \environ 0,784$$

N° 2.10. Écrire une équation du plan en « segments » s'il passe par le point M(6;-10;1) et coupe le segment a=–3 sur l'axe Ox ; sur l'axe Oz - segment c=2.

Répondre:

Le plan passe par le point M(6;-10;1), donc son équation a la forme :

$$ax + par + cz + d = 0$$

Le segment sur l'axe Ox coupé par le plan a une longueur de 3, donc les points d'intersection du plan avec Ox sont à une distance de 3 les uns des autres. Ainsi, les coordonnées de ces points sont -3 et 0. De même, les points d'intersection du plan avec Oz sont à une distance de 2 les uns des autres, leurs coordonnées sont donc 0 et 2.

Ainsi, l’équation du plan en « segments » a la forme :

$$\frac{x}{3} - \frac{y}{10} + \frac{z}{2} - 1 = 0$$

N° 3.10. A quelle valeur de A le plan Ax + 3y– 5z + 1 = 0 est-il parallèle à la droite passant par les points (1;2;3) et (4;

Le produit numérique « Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 » est un complexe pédagogique et méthodologique destiné aux étudiants qui étudient l'algèbre linéaire et la géométrie dans le cadre de leur cursus. Le complexe contient des solutions à des problèmes sur le thème « Équations de plans et de lignes dans l'espace », formulées dans l'option 10.

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Pour que le plan soit parallèle à la droite passant par le point M(x₀;y₀;z₀) et ayant un vecteur directeur $\vec{v} = (a_1;b_1;c_1)$, il faut que la normale Le vecteur du plan soit perpendiculaire au vecteur directeur de la droite. Le vecteur normal du plan a les coordonnées (A ; 3 ; -5). Ainsi, la condition pour qu'un plan soit parallèle à une droite s'écrit :$$Aa_1 + 3b_1 - 5c_1 = 0$$Exprimons A à partir de cette équation :$$A = \frac{5c_1 - 3b_1}{a_1 }$$Ainsi, le plan sera parallèle à une droite donnée de valeur A égale à $\frac{5c_1 - 3b_1}{a_1}$.

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Ryabushko A.P. IDZ 3.1 version 10 est une tâche mathématique qui comprend plusieurs tâches sur la composition d'équations de lignes et de plans dans l'espace, ainsi que sur le calcul des angles entre eux. La tâche comprend quatre points dans l'espace et vous devez créer des équations du plan, des lignes droites, calculer des angles et trouver les valeurs des variables dans l'équation du plan. Un interlocuteur est prévu à la fin pour toutes vos questions.

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